为了给狭义相对论作铺垫，我专门写了三篇麦克斯韦方程组的文章，为了让中小学生能更好理解麦克斯韦方程组，我又补了一篇微积分，现在终于可以正式谈狭义相对论了。

为什么讲狭义相对论要先讲电磁理论呢？

爱因斯坦发表狭义相对论的论文叫《论动体的电动力学》，一般电动力学教材的最后一章也会讲狭义相对论。这一来一去，你就知道它们的关系不一般了。

那这跟牛顿又有什么关系呢？

牛顿建立了上知天文下知地理的力学体系，日月星辰、潮起潮落都遵循他的定律，这是第一次工业革命的基石；麦克斯韦方程组则包含了一切经典电磁学的东西，还发现了电磁波，这是第二次工业革命的基础。

牛顿和麦克斯韦的理论在各自领域都获得了巨大的成功，是经典物理学的两座丰碑。但是，如果你试图把它们融合在一起，用统一的目光看待它们，立马就会出现不可调和的矛盾。

为了解决这些矛盾，爱因斯坦进行了艰苦卓绝的探索，并最终创立了狭义相对论。

这种处境，很像现在的广义相对论和量子力学。

当我们使用广义相对论处理引力，处理恒星和宇宙的演化时非常好用（可以忽略量子效应），当我们使用量子力学处理电磁力、强力、弱力时也非常好用（引力太弱，可以忽略）。

但是，当我们碰到那些又重又小的东西，无法忽略引力和量子效应中的任何一个的时候（比如黑洞和宇宙初期的奇点），就必须结合广义相对论和量子力学，这一结合就出大问题了。

广义相对论和量子力学的不兼容是当今物理学一等一的大事，这种情况跟百年前牛顿力学与麦克斯韦电磁学的不兼容很相似。两种理论能够在各自领域工作良好，就证明它们至少包含了某种正确性，而一结合就出问题，说明我们还是忽略了某些关键的东西。

那么，牛顿力学和麦克斯韦电磁学之间的矛盾是什么？为什么它们无法兼容？有什么关键的东西被忽略了，爱因斯坦又是如何发现的？为什么是年轻的爱因斯坦先发现了这个，而那些大物理学家们却老是差那么一点？

类似的，广义相对论和量子力学之间的矛盾又是什么？它们之间被忽略的关键东西又是啥？爱因斯坦统一牛顿力学和麦克斯韦电磁学的工作对我们统一广义相对论和量子力学又有什么启发？

学习历史是为了更好地把握未来，科学也一样。在下面的文章里，我会把尽力历史说清楚，现在和未来的问题，就交给你来慢慢琢磨了~

好，下面进入正题。

01日心说的困境

为了让大家更清楚地了解牛顿和麦克斯韦这两位大神的战争，我们先把时间往前推两千年。没错，又来到了古希腊。

提到日心说，绝大部分人立马就会想到哥白尼，甚至直接把日心说和哥白尼画上等号。但是，如果你去翻翻历史，就会发现早在公元前3世纪，一个叫阿利斯塔克的人就提出了日心说，这比哥白尼早了足足一千八百年。

阿利斯塔克被称为古希腊第一个著名的天文学家，他用数学计算出太阳的半径比地球大很多（虽然不够精确）。所以，他认为是太阳在宇宙中心，地球围着太阳转，地球自转一圈为一天，地球围着太阳公转一圈为一年。

这是一个很强的论证，如果太阳真的比地球大很多，我们当然更倾向于认为是小地球围着大太阳转。此外，他还发明了一些方法去测量太阳、月亮和地球之间距离的比值。

虽然受限于条件，他当时没法测得很准，但是随着时间的推移，这些数据肯定是会越来越精确的，那得到的结果也应该越来越支持阿利斯塔克的日心说。

但是，后面的结果我们都知道了。400年后，古代欧洲最伟大的天文学家托勒密在构建他的天文体系时采用的是地心说，而不是日心说，为什么？

抛开教会支持地心说不谈，托勒密作为一位杰出的科学家，他为什么最终选择了地心说，而不是看起来很合理的日心说呢？

具体的原因有很多，但其中有一条影响非常大，绝对不容忽视，甚至可以说是击中了当时日心说死穴的原因：如果地球真的在高速转动，那为什么我们跳起来后会落回原地，而没有被甩出去？为什么天上的云不会被吹向一边？

这个问题放到现在当然很简单，一个初中生都可以自豪地甩出“惯性”送给你。但是在当时，或者说在伽利略以前，这都是巨大的科学难题。

当我们在说惯性的时候，我们其实已经默认了伽利略-牛顿的运动观，认为“力是改变物体运动的原因，而不是维持运动的原因”。

但伽利略之前的人并不知道这些，他们认为运动是需要力来维持的。你跳起来之后没有力了，但是依然能落回原地，那就只能说明地球是静止的。

于是，托勒密就理所当然地拒绝了日心说！

02相对性原理

解决这个问题的人是伽利略。

伽利略想，这里的核心问题就是要解释“为什么地球在动，但是我却感觉不到地球在动？”。这个问题并不难，地球太大了不好说，我们先来看看我们熟悉的船。

假设在一个平静的湖面上有一艘匀速直线行驶的大船。我把所有的窗户都关上，让乘客看不到外面的景象。那么，乘客能根据船舱里的情况分辨出这艘船是静止还是匀速直线运动的么？

答案是不能！

你可以在船舱里做各种实验：你可以跳起来，然后发现自己会落回原地；你去看鱼缸的鱼，发现鱼依然均匀地分布在鱼缸的各个部分，并不会挤向船尾的方向；你可以跟朋友正常地玩篮球，而不用担心篮球会往后窜。

总之，大家可以想象，你在这个匀速行驶（一定要是匀速，加速的话就能明显感觉到不一样了）的船舱里做的一切力学实验，都应该跟在静止的船舱里没有任何区别。

也就是说，我们根本无法通过力学实验区分这艘船是静止的还是匀速直线运动的，这就是伽利略的相对性原理。

相对性原理告诉我们，一个静止和匀速直线运动的参考系是完全等价的。我们无法通过力学实验区分二者，这也非常符合我们的生活经验。

飞机在天上平稳飞行的时候，你可以在飞机里看书、写作，就像在家里一样。如果不看窗外的景象，你也很难区分飞机是在飞行途中还是静止在机场。一座在匀速上升或者下降的电梯，你会感觉它跟没动一样，只有电梯在加速减速的时候，你会发现明显的不同。

其它例子我就不多举了，相信大家只要稍微想一想，就会明白相对性原理其实是非常自然的。

有了相对性原理，日心说的困境就迎刃而解了，为什么？

因为我完全可以认为地球就是这样一艘大船（大飞机），它非常均匀的运动。所以，你根本就不能通过“跳起来会落回原地”这个事实来证明地球是静止还是运动。静止的地球会有这样的结果，匀速运动的地球一样会有这样的结果。因此，就算我支持日心说，认为地球在高速转动，这个事实也不会跟日心说发生冲突了。

于是，攻击日心说最锋利的武器瞬间就变成了一堆废铁。有了伽利略的这波神助攻，哥白尼的日心说才没有在这里翻车。

03惯性系

好，现在我们知道了：静止和匀速直线运动的参考系等价的，或者说惯性系都是等价的。

什么是惯性系？

惯性系的定义是个比较麻烦的问题，有些书用“满足牛顿第一定律的参考系”来定义惯性系。也就是说，如果一个物体在不受外力（或者合外力为零）的情况下能保持静止或者匀速直线运动，那它所在的参考系就是惯性系。因此，牛顿第一定律又叫惯性定律。

但是，如果深究一下，你就会发现这里出现了循环定义，因为什么叫不受外力？你想来想去，最后只能用“在惯性系里保持静止或者匀速直线运动”来定义不受外力。

这样，你定义惯性系需要依赖不受外力这个概念，定义不受外力又要依赖惯性系，这就是典型的循环定义了，这在逻辑上是不允许的。

不过，虽然逻辑上有点问题，但日常使用起来还是很方便的。你把一个篮球放在地面上，这个篮球静止不动，所以地面系就可以看作一个惯性系；你把这个篮球放在一辆加速的汽车上，篮球会向车尾滚动，所以加速的汽车系不是惯性系。

关于惯性系的定义，这里就不做深入讨论了。如果大家感兴趣，后面我可以专门写文章讨论这个麻烦的问题。

在这里，我们只要知道地面系可以近似看作惯性系，而且，如果一个参考系相对某个惯性系做匀速直线运动（比如一辆匀速运动的火车），那么这个参考系也是惯性系就行了。

有了惯性系的概念，伽利略的相对性原理就可以简单的说成“力学实验对所有的惯性系都平权”，或者说“我们无法通过任何力学实验来区分两个惯性系”，就不用老是重复说静止和匀速直线运动了。

毕竟，你在地面上觉得地面静止，火车在匀速运动；你在火车上，又会觉得火车静止，地面上的东西在匀速运动。静止和运动是个相对的概念，它取决于你如何选择参考系。

所以，执着于区分静止和匀速直线运动是没啥意义的，我们只要把握住它们（地面系和火车系）都是惯性系，而力学实验无法区分惯性系就行了。

好，我们现在知道了相对性原理要求力学实验对所有的惯性系都平权，而力学实验是由对应的力学定律来描述的。那么，相对性原理会对这些力学定律做出什么样的要求呢？

想找到答案，我们需要对相对性原理做更深层次的剖析。

04从实验到定律

假设现在有地面系和火车系两个惯性系，火车相对地面作匀速直线运动。

当我们说力学实验无法区分地面系和火车系的时候，我们是在说：我在火车里抛球也好，跳远也好，做的各种力学实验跟在地面上的感觉都是一样的。

你在地面上能跳多远，在火车上就能跳多远；你在地面上从1米高的地方放一个小球，这个小球经过多长时间着地，在火车上小球也会经过同样的时间着地。

你觉得不管在地面还是火车，1米高的小球都会经过相同的时间落地，所以我无法通过这个区分地面系和火车系。但是，这个下落时间，我们是可以通过力学定律精确算出来的。

比如，我们使用牛顿力学（当然你也可以用其它的理论，比如广义相对论）的自由落体运动公式，很快就能算出这个下落时间大概是0.45秒。

也就是说，你在地面系使用牛顿运动定律计算小球下落，得到的时间是0.45秒；在火车系依然使用这个公式计算，得到的结果依然还是0.45秒。

正因为你在地面系和火车系计算的时间都一样（废话，一样的公式，一样的已知条件，结果不一样才见鬼了~），你才会无法区分这两个惯性系。

不过，不知道你意识到了没有，你在这个过程中使用了一个可能连你自己都没有意识到的假定。正是这个假定，保证了你在地面系和火车系的计算结果都一样，保证了你无法区分这两个惯性系，保证了相对性原理。

这个假定就是：你默认牛顿运动定律不管在地面系还是火车系都是长这样的，你用来计算小球下落的数学公式，不管在地面系还是火车系都一样。

正因为你在地面和火车使用的都是这个公式（H=gt²/2），所以算出来的时间才会一样。你想想，如果你在地面系用H=gt²/2去算，在火车系用H=gt²/3去算，那结果还能一样么？

我知道，肯定有些人觉得我这是废话。牛顿运动定律只此一家，别无分店，怎么可能一个公式在地面系长这样，在火车系长那样呢？

我们学习自由落体运动的时候，老师也只讲了这一个公式，不管地面系还是火车系，你用得用它，不用还得用它，因为你压根就没有别的选择。

对对对，你说的都对，所以我才说很多人平常都不会意识到这个事情。

但是，你不得不承认这个问题确实是存在的。而且，正因为牛顿运动定律在地面系和火车系的数学形式一样，你才无法区分地面系和火车系，才会符合相对性原理。更重要的是，这并不是一件多么理所当然的事。

你觉得物理定律的数学形式在不同的惯性系里就必须长一样么？不不不，你有严格地证明么？你只不过觉得应该是这样的，然后就默认这样用了，而牛顿力学刚好满足这个条件罢了。

我完全可以认为某些定律只能在某些特殊的惯性系里使用，在其它的惯性系里使用就是错误的。这样，在不同的惯性系里使用定律的数学形式就不一样了，那么你就能区分这两个惯性系了，这也就意味着相对性原理不再成立。

所以，物理定律的数学形式在不同惯性系里是否一样，要看它是否满足相对性原理。这绝不是理所当然，天生就成立的。

也就是说，从实验的角度来看，相对性原理要求力学实验对所有的惯性系平权。你不管在哪个惯性系里做力学实验，你的感觉应该都是一样的，这样才无法区分这两个惯性系，它们才平权。

从定律的角度来看，相对性原理要求力学定律在所有惯性系的数学形式都一样。因为只有定律的数学形式一样，它在不同惯性系计算的结果才一样，这样才能“欺骗”你的感觉，让你无法分辨出在哪个惯性系，这样惯性系才平权。

从实验到定律，这两种表述是等价的，都是相对性原理的体现。

那么，牛顿力学是否满足相对性原理呢？应该是满足的。不然你在火车、飞机上使用了这么久的牛顿运动定律怎么一直没有出错呢？那要如何证明？如何证明牛顿运动定律的数学形式在所有的惯性系里都一样？

以前我们可能不知道有这回事，拿着牛顿的定律在地面系、火车系、飞机系随便就用。现在知道了，那就肯定要找一找这么做的合法性依据在哪，不能再继续这样耍流氓下去了。

以牛顿第二定律F=ma为例，假设它在地面系是这样的，那我要怎么证明它在火车系还是这样的呢？

你会发现我们需要一个桥梁，一个沟通地面系和火车系的桥梁，一个能把牛顿第二定律从地面系变换到火车系的桥梁。看看我们把F=ma变换到火车系之后，它的数学形式到底还是不是这样。

那地面系和火车系之间有没有桥梁呢？当然有，因为它们本身就有关系。

火车在地面上以一定的速度匀速运动，同一个事件，地面系把它的信息记录了一份，火车系也把它的信息记录了一份，这两者肯定是有某种关系的。

我们要做的，就是把这种变换关系找出来，把这两个惯性系之间的关系找出来，然后再看看牛顿力学的定律在这种变换下的数学形式是否发生改变。

那么，这到底是什么样的一种变换呢？

05伽利略变换

牛顿力学非常符合常识，所以这种变换应该也是符合常识的，我们不妨先来猜一猜。

假设我们在地面系S建立一个坐标系（x,y,z,t），有一辆火车以速度v（沿x轴正方向）匀速运动，我们在火车系S’里也建一个坐标系（x’,y’,z’,t’）。为了简化问题，我们让这两个坐标系一开始是重合的。

对于任何发生的事件，地面系和火车系都会记录下事件发时空信息（x,y,z记录空间信息，t记录时间信息）。我们想要知道的就是：这两套坐标系记录的时空信息之间有什么关系？

先看时间。

假如火车上有一个小球开始下落，火车上的时钟记录的时间为八点，那地面上的时钟会觉得是几点呢？不要笑，我不是在逗你玩，我是在讨论一件很严肃的事情~

你可能会觉得这还需要讨论么？

火车上的时钟记录的时间是早上八点，地面的钟只要没坏，不考虑什么时区的问题，它当然也是早上八点。

不仅如此，所有的钟记录的时间应该都是一样的，这是生活常识。我们宣布奥运会什么时候举行，只需要对外公布一个时间。不会说北京时间什么时候，上海时间什么时候，更不会说高铁时间什么时候，因为我们默认大家都共用一个时间：同一个世界，同一个时间。

没错，这种认为是非常有道理的，也非常符合我们的常识。

我不会说你这种想法是对还是错，我只能说这代表了你对时空的一种看法，这是你的一种时空观。在这种时空观下，时间是绝对的，独一无二的，所有人都共用同一个时间。

也就是说，如果你认同这种绝对的时间观，那么火车系测量时间t’和地面系测量时间t就应该永远都是相等的，即t’=t。

到后面我们会发现，这个问题绝不是你想象的这么简单，它背后大有学问。越是符合常识，越是平凡的东西，想要发现它的不平凡就越不容易。

好，接下来看空间。

地面系和火车系的三个空间坐标x,y,z应该满足什么关系呢？因为火车只沿着x轴运动，所以，你在地面系和火车系测量的y和z的值应该也是一样的（即y’=y,z’=z），唯一不同的就是x了。

这个关系也不难，大家琢磨一下就能得到这个结果：x'=x-vt。

也就是说，如果地面系测量的横坐标是x，你用这个x减去vt（火车的速度v乘以时间t），就能得到火车系下测量的横坐标x’。

你可以自己比划一下，假如你在火车系的原点处放一个小球，那么这个小球在火车系的横坐标x’就永远等于0（x’=0）。火车的速度乘以时间vt刚好就是地面系测量的它的位移x，这代入（0=x-vt）进去刚刚好。

如果小球不在原点，不难验证它们的横坐标依然满足这个关系。于是，我们就找到了两个惯性系之间的坐标变换关系：

如果我在地面系S观测到一个事件的时空坐标为（x,y,z,t），通过上面的坐标变换公式就能求出它在速度为v的火车系S’上的坐标（x’,y’,z’,t’），这样我们就找到了联系两个惯性系之间的一座桥梁。

回想一下，这种变换之所以能成立，是因为我们假设时间是绝对的（t’=t，它在所有参考系里都是一样的），空间像一个坚固的大盒子，无法被压缩。在这种绝对的时空观下，我们推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个变换就叫伽利略变换。

06牛顿力学与伽利略变换

而牛顿力学也是绝对的时空观，牛顿在《自然哲学的数学原理》的一开头就写到：绝对的、真实的、数学的时间，由其特性决定，自身均匀的流逝，与一切外在事物无关；绝对空间自身的特性与一切外在事物无关，处处均匀，永不移动。

既然牛顿力学是绝对的时空观，而我们从绝对时空观里又自然地推导出了伽利略变换。那么，不难想象，在牛顿力学里联系两个惯性系的坐标变换应该就是伽利略变换。

也就是说，如果牛顿力学满足相对性原理，那么牛顿力学的所有定律就应该在伽利略变换下保持数学形式不变。

如果一个定律在地面系是A=BC，这几个量经过伽利略变换后变成了火车系的A’、B’和C’，那么它们还应该满足A’=B’C’，这样才叫数学形式没变。

我们说牛顿力学的定律形式不变，并不是说它什么都不变。物理量A、B、C经过伽利略变换之后变成了A’、B’、C’，那肯定跟以前的量不一样了。但是，你一个量变了，大家协同着一起变，最后总的数学形式依然保持A’=B’C’这个样子，这才是牛顿力学的所有定律在伽利略变换下保持形式不变的真正意思。

因此，我们也可以说牛顿运动定律具有伽利略协变性，或者伽利略不变性（在伽利略变换下所有物理量都协同变换，但是总的形式保持不变），用协变性、不变性大家可能更容易理解一些。

这段逻辑大家一定要好好理清楚，只有把这段彻底搞清楚了，才算真正明白了相对性原理。

为了让大家更深刻地理解“牛顿运动定律具有伽利略不变性”，我们来看一个具体的例子，看看大名鼎鼎的牛顿第二定律（F=ma）是如何具有伽利略不变性的。

07牛顿第二定律

牛顿第二定律说一个物体受到的合外力F等于这个物体的质量m乘以加速度a（F=ma），那我们就来分别考察一下这三个量在地面系和火车系的情况。

先说质量m，质量是一个不变量。不变量就说它是不随参考系的变化而变化的，你在地面系测的值是多少，在火车系就还是多少。

这个比较容易理解，质量是物体的一个内在属性，它怎么可能随着参考系的变化而变化呢？比如你去查电子的质量，那就是一个具体的数字（9.10956×10^-31kg千克），白纸黑字地写在那里，是不会随参考系的变化而变化的。

在牛顿力学里，除了质量m，力F也是一个不变量。这就是说，对地面系和火车系来说有m’=m，F’=F，那问题的关键就是看加速度a’和a了。

地面系和火车系的加速度有什么关系呢？

我们可以这样看，加速度是单位时间内速度的变化，速度是单位时间内位移的变化，而火车系S’和地面系S的位移关系是伽利略变换直接给出的（x’=x-vt）。那么，我们把位移关系的两边同时除以两次单位时间，不就能得到加速度a’和a的关系了么（用微积分说就是对时间求两次导数）？

好，火车系的速度是u’=s‘/t’，地面系的速度是u=s/t，我们把x’=x-vt的两边都除以时间（因为伽利略变换里t=t’，所以两边可以分别除），然后对应的速度关系就简单了（因为火车只沿x轴方向的运动，所以x和位移s是相等的，写成s’=s-vt也没问题）：

推导很简单，得到的结果u’=u-v就是我们熟悉的速度合成法则，也就是说这两个惯性系测量的速度相差一个速度v，符合题意，没毛病。

好，有了速度关系u’=u-v，我们两边再同时除以一次单位时间，就能得到加速度a’和a的关系：

因为速度v是参考系的相对速度，是一个不随时间变化的常数，所以它在单位时间的变化量就是0，于是就对加速度就没有影响了。所以，我们就得到了a’=a，也就是说火车系的加速度a’等于地面系的加速度a。

这样，我们就发现地面系和火车系的力F、质量m和加速度a都是相等的（F’=F，m’=m， a’=a）。那么，如果牛顿第二定律在地面系长F=ma这样，经过伽利略变换之后的F’、m’、a’就依然可以满足F’=m’a’。

这就意味着牛顿第二定律的数学形式在伽利略变换前后保持不变，因此它具有伽利略不变性，证毕。

当然，不只是牛顿第二定律，牛顿力学的所有定律都具有伽利略不变性，你可以仿照我这个思路去验证一下。

08绝对时空观

好，到了这里，我帮大家把前面的思路理一下：伽利略为了给日心说做辩护，从生活经验和实验中提炼出来了相对性原理。

它告诉我们，无法通过力学实验区分静止和匀速直线运动的参考系，所有的惯性系都是平权的，没有谁更特殊。

力学实验由对应的力学定律（比如牛顿运动定律）来描述，如果一套理论满足相对性原理，那么它的数学形式就应该在所有的惯性系里保持一样。

为了验证一个定律在不同的惯性系的数学形式是否一样，我们就需要找到联系两个惯性系的桥梁，这就是坐标变换。而变换并不是天然存在的，不同惯性系下的物理量之间有什么关系，这严重依赖于你的时空观。

比如，你觉得所有惯性系测量的时间都是一样的吗？如果你回答是，那就说明你认为时间是绝对的，认为全世界的观察者都共用一个时钟。你觉得空间是像一个坚固的大房子，还是像一块可以被压缩拉伸的海绵？不同的回答就意味着对空间的不同理解。

不难想象，对时间和空间的不同理解，必然会导致不同的变换。

牛顿力学是绝对的时空观，它认为时间均匀流逝，与一切外在事物无关；空间处处均匀，永不移动。这种绝对时空观对应的变换就是伽利略变换，而牛顿力学的所有定律在伽利略变换下能够保持数学形式不变，所以牛顿力学满足相对性原理。

在绝对时空的大背景下，牛顿力学和伽利略变换配合得天衣无缝。它们能解释苹果下落，气球上升，能解释潮起潮落，也能解释日月星辰的轨道。力学取得了空前的成功，牛顿直接封神。

后来，人们把这种力学思想运用到热现象里去，把宏观的热现象还原成了微观分子间的相互作用，建立了热力学，一样获得了巨大的成功。

但是，当人们把研究对象转向电磁领域的时候，上帝的天平不再偏向牛顿和伽利略，电磁定律把他们组建的世界冲得七零八落。

大家都知道经典电磁领域的集大成者是麦克斯韦方程组，为了给这篇文章做准备，我前面专门写了三篇麦克斯韦方程组的入门文章（积分篇、微分篇和电磁波篇），这里就不再详述了。

电磁理论，或者说麦克斯韦方程组有什么问题呢？

09电磁理论的挑战

用一句话说就是：电磁定律不再满足伽利略变换，麦克斯韦方程组不具有伽利略不变性。

也就是说，麦克斯韦方程组长这样：

如果我们用伽利略变换把方程组的各个物理量都映射到另一个惯性系S’里，那么，在S’系下的新物理量将不再满足上面这种关系。

这跟牛顿第二定律完全不一样。上面我们已经验证了，我们把牛顿第二定律F=ma用伽利略变换从一个惯性系映射到另一个惯性系，新系下的F’、m’、a’依然能组成牛顿第二定律F’=m’a’，而麦克斯韦方程组办不到。

麦克斯韦方程组不具有伽利略不变性，这个事情既不需要实验验证，也不需要什么额外的假设。因为方程组就长这样，伽利略变换也是明确给出的，你判断麦克斯韦方程组是否具有伽利略不变性，这是一个纯粹的数学问题。你一通计算之后，它满足就满足，不满足就是不满足，没有讨价还价的余地。

所以，面对麦克斯韦方程组不具有伽利略不变性这个既定事实，我们要考虑的是：为什么会这样？

牛顿力学满足相对性原理，它用代表绝对时空观的伽利略变换与之适配。

现在麦克斯韦方程组跟伽利略变换不适配，那么就应该有两种可能：第一，麦克斯韦方程组根本就不满足相对性原理；第二，麦克斯韦方程组虽然满足相对性原理，但是与之适配的变换并不是伽利略变换。

那么到底是哪一种情况呢？我们来逐一分析下这两种可能性。

10第一种可能

如果是第一种，也就是认为麦克斯韦方程组不满足相对性原理，那是什么意思呢？

不满足相对性原理，就是说麦克斯韦方程组的数学形式并不是在所有的惯性系里都一样，它可能只在某个惯性系长这样，在其它的惯性系里就不是这样的了。假如麦克斯韦方程组在地面系是这样的，那么你可以在地面用它处理电磁现象，在火车系就不行了。

你可能觉得这太荒谬了，怎么可能我在火车上就不能使用麦克斯韦方程组了呢？难道火车上的电磁现象就不满足这些规律？如果法拉第在火车上做实验，会得出与实验室里完全不一样的电磁定律出来么？

荒谬归荒谬，但是如果你认为麦克斯韦方程组不满足相对性原理，结果就是这样。

当然，如果你认为麦克斯韦方程组在火车系不能用，那么我们也没有理由认为它在地面系就能用。因为地球只不过是宇宙里极其平常的一个星球，如果麦克斯韦方程组只在一个参考系中成立，那凭什么是地面系？太阳系可不可以？火星系可不可以？

所以，如果你非要认为麦克斯韦方程组不满足相对性原理，它只在一个参考系适用。那么，我们就只能选择一个在宇宙范围内看起来非常特殊的参考系，那这个参考系是什么呢？

很容易想到，如果我们秉持牛顿-伽利略的绝对时空观，把整个空间都看作一个坚固的大房子，那么这个房子本身所在的参考系毫无疑问就是那个最特殊的参考系。

另一方面，麦克斯韦方程组认为光是一种电磁波，传统的波动说认为只要是波那就一定有介质，没有介质波怎么传播呢？水波的介质就是水，声波的介质就是空气，没有水自然就没有水波，在真空里也听不到声音。

而光是一种电磁波，那么我们自然也需要一种能够传递电磁波的介质。

于是，我们会发现，要让假设成立，我们需要一个空间这个大房子本身所在的特殊参考系，这个参考系还要能够作为传播电磁波的介质。由于光可以在真空中传播，我们在宇宙的各个方向都能看到光，所以这种介质还应该遍布宇宙。

所以，大家就假设有一种铺满宇宙的东西，它既是那个最特殊的参考系，也是电磁波的介质，它的名字就叫以太。

大家可以发现，如果我们假设麦克斯韦方程组不满足相对性原理，那以太的出现几乎就是必然的，而且还跟我们熟悉的绝对时空观不冲突，多好！

这样处理的代价似乎是最小的，麦克斯韦本人接受的也是这样的观念。

也就是认为宇宙中充满了轻盈的以太，光通过以太传播，麦克斯韦方程组只能在以太系中成立，在其他参考系里不成立，所以它不满足伽利略变换也是说得过去的。

那么，为什么我们在地球上使用麦克斯韦方程组却没有出错呢？难道这么巧，地球所在的参考系刚好就是以太系？或者说，地球因为某种原因带着以太一起运动？不能够吧，这也太巧了，比你在1998年去杭州跟一个叫马云的人拜了把子的概率还小。

所以，物理学家们就只能拼了命的去寻找以太。如果地球真的“浸泡”在以太池里，那么地球自转的时候多多少少会产生一些“以太风”，只要实验设计得足够精巧，我们理论上是能找到它的。

然而，实验并没有找到任何以太风，事情就这样尴尬地僵住了。

11第二种可能

这样，第一种情况就分析完了，我们再来看看第二种情况。

也就是我们认为麦克斯韦方程组依然满足相对性原理，只不过，与之适配的变换并不是伽利略变换。

为什么我们要考虑第二种情况呢？是因为第一种情况会导致以太，但是大家死活都找不到以太，所以转向第二种么？

是，也不是！

大家找不到以太，当然会慢慢降低第一种可能性的威信，于是转而考虑第二种是可以理解的。但是，这个原因并没有那么重要，因为你找不到以太，大家还可以给你解释为什么你找不到以太（参见洛伦兹的操作，他用长度收缩来解释为什么我们观测不到以太风），不会轻易放弃，转而“投敌”的。

为什么要考虑第二种情况，因为第二种情况本身就很值得考虑。

相对性原理是个多么美妙的原理啊，伽利略当年就是凭着它给日心说翻盘的。牛顿力学的大获成功，就已经证明了相对性原理在力学领域是非常正确的，那凭什么到了电磁领域就不正确了呢？

在一个匀速直线运动的船舱里，我无法通过力学实验分辨出这艘船到底是静止还是匀速运动，难道通过电磁实验就能够区分了？

难道在匀速直线运动的船舱里，我们的电磁定律都不一样，那么我们使用的各种电气电子设备岂不是都要出问题了？如果我们的手机在运动的火车里不能用，你觉得这可能吗？

如果你坚持认为电磁定律不满足相对性原理，那么，上帝除了要制造一个特殊的以太参考系，还要让有的定律（力学定律）满足相对性原理，有的定律（电磁定律）不满足相对性原理，他不嫌麻烦么？他制造了这样一个又复杂又不美的体系，他妈妈知道么？

很多物理学家对物理定律的简单和美都有一种执着的追求，爱因斯坦、狄拉克、杨振宁都是这样，而相对性原理就是这样一条又简单又美的原理。

所以，不管是从美学考虑，还是从哲学考虑，让电磁定律放弃相对性原理都是让人很难接受的一件事。更何况，你根本没有任何实验证据，那就更可疑了。

近代物理学的发展，就是一部人类特权的消亡史。最开始你认为地球是宇宙中心，结果发现地球只不过是太阳系的一颗普通行星；你以为太阳是中心，结果发现银河系里有无数个太阳系；当你准备站银河系的时候，大量河外星系被发现了。当你准备退一万步，说起码这个宇宙是唯一的吧，结果很多理论都指向了各种版本的平行宇宙。

你以为你很特殊，结果物理学一次次告诉你：你一点也不特殊，上帝好像也没有倒腾什么特殊的东西。

既然这样，既然上帝这么公平公正，为什么我们要相信他预设了一个特殊的参考系呢？为什么他会对电磁定律开特殊的后门呢？相对性原理说大家都绝对公平，所有的惯性系都一样，这很符合近代物理的精神啊。

所以，我们也有充分的理由认为麦克斯韦方程组也是服从相对性原理的。

如果麦克斯韦方程组服从相对性原理，而它却不具有伽利略不变性，那我们就只能认为跟麦克斯韦方程组适配的变换并不是伽利略变换了，这又意味着什么呢？

12新的时空观

前面我也说了，伽利略变换是绝对时空观的体现，只要你假设大家都共用一个时间，认为空间就像坚固的大房子那样，那么惯性系之间的变换关系就是伽利略变换。

如果你认为麦克斯韦方程组不满足伽利略变换，那这就是在挑战绝对的时空观，这就是翻天的大事了。

所以，一般人根本就不敢往这方面想。虽然大家都认为相对性原理很美妙，觉得如果电磁理论也满足相对性原理，那当然是非常不错的事情。

但是，当他们继续往前走，发现这会跟绝对时空观发生冲突时，他们就立马起身告辞，表示下次一定支持相对性原理，然后就继续寻找以太去了。

为什么当相对性原理跟时空观发生冲突时，绝大部分人都立马抛弃了看起来很美的相对性原理，而选择坚守时空观呢？

这个其实也很容易理解。首先，很多人压根就没意识到有时空观这个问题。当他们发现如果让麦克斯韦方程组满足相对性原理，就会出现一些“荒谬”结论的时候，他们就觉得这是一条死路，这是方向错了，不予考虑。

然后，有极少数非常优秀的科学家会意识到这个问题。他们会隐隐约约地感觉到：“麦克斯韦方程组没问题，相对性原理也没问题，那是不是牛顿-伽利略的绝对时空观有什么问题？时间和空间是不是有可能并不是这样的？”

但是，光怀疑是不够的，你说绝对时空观可能不对，那么正确的时空观是什么？如何在全新的时空观里建立全新的物理学？摧毁旧世界是容易的，难的是如何建立新世界。

最后，只有一个年轻的科学家敢于完全抛弃绝对的时空观，并且在全新的时空观下建立了全新的物理学，彻底跟旧世界决裂。

因为他年轻，没有思想包袱，所以在旧世界里陷得不深，所以敢直接放弃旧的时空观。

因为从小就读康德、休谟、马赫、庞加莱等哲学大师的著作，所以不论是从哲学还是美学考虑，他都无比钟爱相对性原理。

因为他思考问题思考得很深，所以能找到让麦克斯韦方程组和相对性原理共存的办法。

因为他生活在钟表大国瑞士，供职于专利局，每天都要审查非常多跟时间钟表相关的专利，所以他对时间问题特别敏感，并最终从时间这里找到了关键的突破口。

这个人是谁，我相信你们都知道，他就是爱因斯坦。

只要把麦克斯韦方程组和相对性原理之间的冲突解决了，狭义相对论的诞生就是水到渠成的事了。

至于爱因斯坦是如何着手解决这个问题，他又是如何发现问题的关键，解开了别人眼里的死结从而创狭义相对论的，我下一篇文章再细说。

这里，我再带大家看一个具体的例子。看看如果坚持麦克斯韦方程组和相对性原理，到底会出现什么“大逆不道”的结论，以至于把那么多科学家都直接吓跑了。

13电磁波的疑难

在我的麦克斯韦方程组的第三篇文章《见证奇迹的时刻：如何从麦克斯韦方程组推出电磁波？》里，我带着大家一步步从麦克斯韦方程组推出了电磁波的波动方程，并给出了电磁波的速度公式：

因为μ0、ε0都是常数，代入进去我们就会发现电磁波的速度等于光速，从而发现“光是一种电磁波”。

对于能看到这里的朋友，我相信对这个结论已经不会奇怪了，那么真正奇怪的地方在哪里呢？

大家再去看看电磁波的推导过程，你会发现一件奇怪的事情：我是直接从麦克斯韦方程组出发，一顿数学操作之后得到的电磁波速度公式。整个过程我没有预设任何物理上的东西，没有预设任何参考系！

可能你还没有意识到这件事情的怪异之处，那我们再来回忆一下。初中刚学物理的时候，老师就一定跟你强调过：速度是相对的，你在说一个物体的速度的时候，一定要指定参考系，否则你说的速度就是没有意义的。

你坐在家里觉得自己没动，但是你相对太阳就在高速运动；你觉得地面的树没动，但是火车上的人就会觉得树在高速运动。这些很好理解，大家也很容易接受“凡谈论速度，必先指定参考系”。

但是，你在计算电磁波速度的时候，你指定参考系了么？你选定了哪个特定的参考系了么？

没有，都没有！

你做的事情就是拿起麦克斯韦方程组，一顿操作猛如虎，一通纯数学计算之后得到了那个电磁波的速度公式。

你在没有指定任何物理情景，没有指定任何参考系的情况下算出来了一个电磁波速度，那么这个速度算谁的？

地球系的？火车系的？太阳系的？显然都没有道理！

但是我们就是凭空算出一个速度c来了，虽然我不知道这是相对哪个参考系的，就像石头缝里凭空冒出一个孙猴子一样。

遇到这样棘手的问题，你会怎么考虑？

很显然，你没有任何理由认为这个速度是相对哪个具体参考系的，地球不行，火车不行，太阳也不行。

那么，要么你就认为存在一个特殊的参考系，比如我们在第一种可能里说的以太，认为这个速度是相对以太的。这其实就是认为麦克斯韦方程组不满足相对性原理。

要么，你就认为这个速度对所有的惯性系都成立，也就是认为电磁波在所有惯性系下的速度都是c。这其实就是认为麦克斯韦方程组满足相对性原理，认为它在所有的惯性系下都是正确的，这就是前面讨论的第二种可能。

从这里也可以看出，即便我们不从相对性原理本身考虑，麦克斯韦方程组推出的这个电磁波速度也逼着你不得不二选一。麦克斯韦方程组是否满足相对性原理，这是一个必须回答的问题。

此外，很多科普文章说，因为麦克斯韦方程组推出电磁波的速度（也就是光速）是一个常数，所以我们可以从麦克斯韦方程组推出狭义相对论的光速不变原理，这是不对的。

14光速不变原理

光速不变原理不是说光在真空中的速度是一个定值（我声波在空气中的速度还是一个定值呢），而是说你不管在哪个惯性系里测量真空中的光速，它都是一个定值。

它的重点是强调真空光速在所有的惯性系里都一样，也就是说真空光速对所有惯性系都平权。

大家能看到这里来，这句话已经听熟了吧？所有的惯性系都平权，这不就是相对性原理的核心思想么？

所以，你单从麦克斯韦方程组推出的电磁波速度，是无法推出光速不变原理的，因为这个速度根本就没有提及任何参考系。我完全可以说麦克斯韦方程组推出的光速只在以太系里成立，在其它系里不成立，这样你还能说光速不变么？

但是，如果你同时坚持麦克斯韦方程组和相对性原理，认为方程组在所有的惯性系里都成立。那么，你就可以在所有的惯性系里推出电磁波的速度，这样你就可以说真空光速在所有的惯性系里都是不变的，这才是光速不变原理。

也就是说，单独的麦克斯韦方程组推不出光速不变原理，但是麦克斯韦方程组+相对性原理就能推出光速不变原理。

所以，问题的核心还是你要不要坚持相对性原理。

而“真空光速在所有惯性系里都不变”这样一个结论对牛顿力学，对绝对时空观有多么“大逆不道”，大家应该能感觉到吧。

它直接颠覆了我们熟知的速度合成法则。我在地面观测火车上物体的运动速度，那肯定是要把火车的速度和物体的运动速度叠加起来考虑的，怎么可能我在火车上观察这个物体是这个速度，在地面上观察还是这个速度呢？

举个例子，在时速300km/h的高铁上，有一个列车员以5km/h的速度朝车头走去。火车上的人觉得列车员的速度的5km/h，地面上的人自然觉得列车员的速度是300+5=305km/h。

这时候如果有个人跳出来说，不对，我在地面看到这个列车员的速度跟在火车上看到的一样，都是5km/h，那估计大家要送你去精神病院了。

但是，当我们把这个列车员换成了一束光，结论就变成这样了。火车和地面的人竟然都觉得这束光的速度是c，你说这结果可怕不可怕？

而我们所做的，仅仅是假设麦克斯韦方程组满足相对性原理，然后光速就被吓得不敢变了！这种“大逆不道”的结论，牛顿和伽利略当然要不起，这基本上是要掀他们的桌子了。

所以，我们再来看看这个直击灵魂的问题：麦克斯韦方程组到底满不满足相对性原理？

15结语

至此，狭义相对论诞生前夜的各种素材，我都已经帮你准备好了。牛顿力学、麦克斯韦方程组、相对性原理、伽利略变换、绝对时空观之间的关系，我也基本上给你理清了。

有的朋友可能还会有点疑问：别的书籍文章在讲狭义相对论之前，都要大讲特讲迈克尔逊-莫雷实验，然后从这个实验出发讲光速不变，怎么你这里一句都没提？

你去翻一翻爱因斯坦的论文《论动体的电动力学》（后台回复“狭义相对论论文”），里面一样一句没提迈克尔逊-莫雷实验。

爱因斯坦是从电磁学出发建立的狭义相对论，因为他的叔叔是电气工程师，他们家又开了一个电气工厂，所以爱因斯坦从小就对电磁学非常感兴趣。

至于光速不变，我们上面已经分析了。只要坚持麦克斯韦方程组和相对性原理，光速不变就是一个自然而然的结论，并不是非要有实验才敢这样想。也就是说，有没有迈克尔逊-莫雷实验，爱因斯坦都能创立狭义相对论，我们不必过分夸大这个实验的作用。

所以，现在就是这样的局面，牌都在这里，你要怎么打？牛顿力学和麦克斯韦电磁学的核心冲突，牛顿和麦克斯韦这两尊大神之间的战争，你要怎么去化解？

我希望你能好好想一想，自己琢磨琢磨。谁都知道解决方案就是狭义相对论，但是只知道答案对你并没有太大的用处，我希望你自己能合乎逻辑地把正确答案推导出来。你也知道在试卷里只写一个答案但没有任何过程的后果吧？

这是科学史上难得一见场面，也是新手村的绝佳试炼基地。

以前的科学发展，大多是科学家在这个领域做了很多实验，总结了很多实验定律。最后再来个厉害人物对这些定律进行大综合，力学和电磁学的发展皆是如此。

但是，像狭义相对论这样，主要的发展动力来自两套在各自领域都工作良好，一结合就出矛盾的理论的情况是非常少见的。然而，我们现在又一次遇到了这种情况：广义相对论和量子力学在各自领域都工作良好，但是它们一结合就会出现无尽的灾难。

我们应该如何去协调广义相对论和量子力学呢？从这个角度来看，爱因斯坦成功协调牛顿力学和麦克斯韦电磁学的这次经验，是不是就更加显得弥足珍贵了呢？

我也很想知道，如果年轻的爱因斯坦在现在，他会如何看待广义相对论和量子力学之间的矛盾。科学家为了调和两者，提出的超弦理论、圈量子理论等有没有忽略什么关键性的东西？为什么引力没法量子化？我们对时空本性的认识，是不是又要发生一次大的变革？

这些问题有着无尽的吸引力，为了让我自己能尽早看到这些问题的答案，我现在竭尽全力给你们写科普。

所以，我不能只是简单地告诉你们答案，我得尽力把爱因斯坦的学习方式、思考方式、研究方式都写出来。让你们领会爱因斯坦的科学精神，然后让你们去思考这些大问题~

牛顿和麦克斯韦的战争就写到这里，至于爱因斯坦是如何化解这个矛盾的，我下一篇文章再细说。怕错过的，盯着我的公众号就行了。

当然，如果你能在这之前通过这篇文章的线索自己把问题解决了，自己独立地提出狭义相对论，那就再好不过了，那我简直要给你发一朵小红花。如果你有思路，但是在有的地方又卡壳了，可以来我的社群（后台回复“社群”）跟大家一起讨论，我相信这种方式对你的成长会大有裨益。

神探爱因斯坦，我们下篇文章见~

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相关文章：

《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》

《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》

《见证奇迹的时刻：如何从麦克斯韦方程组推出电磁波？》

《闵氏几何是什么？它是如何统一时空并极大简化狭义相对论的？》

《你也能懂的微积分》

在前两篇文章里，长尾君给大家介绍了麦克斯韦方程组的积分和微分形式。大家也都知道麦克斯韦从这套方程组里推导出了电磁波，然后通过计算发现电磁波的速度正好等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言后来被赫兹证实。

电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁理论走上了神坛，也让人类社会进入了无线电时代。你现在可以随时给远方的朋友打电话，能用手机刷长尾科技的文章，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎么从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇文章我们就来一起见证这一奇迹的时刻。

01什么是波？

要理解电磁波，首先我们得了解什么是波？有些人可能觉得这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会形成一个水波；我抖动一根绳子，绳子上就会就会出现一个波动。生活中还有很多这种波动现象，我虽然读书少，但是什么是波还是知道的。

没错，水波、绳子上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：所有这些叫作波的东西有什么共同的特征？我们如何用一套统一的数学语言来描述波？

我们研究物理，就是从万千变化的自然界的各种现象里总结出某种一致性，然后用数学的语言定量、精确的描述这种一致的现象。现在我们发现了水波、绳子上的波等许多现象都有这样一种波动现象，那我们自然就要去寻找这种波动现象背后统一的数学规律，也就是寻找描述波动现象的方程，即波动方程。

为了寻找统一的波动方程，我们先来看看最简单的波：抖动一根绳子，绳子上就会出现一个波沿着绳子移动，以恒定的频率抖动就会出现连续不断的波。

为了更好地研究绳子上的波动，我们先建立一个坐标系，然后把注意力集中到其中的一个波上。于是，我们就看到一个波以一定的速度v向x轴的正方向（右边）移动，如下图：

那么，我们该如何去描述这种波动呢？

首先，我们知道一个波是在不停地移动的，上图只是波在某个时刻的样子，它下一个时刻就会往右边移动一点。移动了多少也很好计算：因为波速为v，所以Δt时间以后这个波就会往右移动v·Δt的距离。

另外，我不管这个时刻波是什么形状的曲线，反正我可以把它看成一系列的点（x,y）的集合，这样我们就可以用一个函数y=f(x)来描述它（函数就是一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一对（x,y）就组成了坐标系里的一个点，把所有这种点连起来就得到了一条曲线）。

然后，y=f(x)只是描述某一个时刻的波的形状，如果我们想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来。也就是说我们的波形是随着时间变化的，即：我绳子上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话我们就得用一个二元函数y=f(x,t)来描述一个波。

这一步很好理解，它无非告诉我们波是随时间（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，世界上到处都是随着时间、空间变化的东西，比如苹果下落、篮球在天上飞，它们跟波的本质区别又在哪呢？

02波的本质

仔细想一下我们就会发现：波在传播的时候，虽然不同时刻波所在的位置不一样，但是它们的形状始终是一样的。也就是说前一秒波是这个形状，一秒之后波虽然不在这个地方了，但是它依然是这个形状，这是一个很强的限制条件。有了这个限制条件，我们就能把波和其它在时间、空间中变化的东西区分开了。

我们这样考虑：既然用f(x,t)来描述波，那么波的初始形状（t=0时的形状）就可以表示为f(x,0)。经过了时间t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的距离，也就是把初始形状f(x,0)往右移动了vt，那么这个结果可以这样表示：f(x-vt,0)。

为什么把一个函数的图像往右移动了一段vt，结果却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里稍微帮大家回顾一下：你们想，如果我把一个函数图像f(x)往右移动了3，那么我原来在1这个地方的值f(1)，现在就成了4这个地方的函数值。所以，如果你还想用f(x)这个函数，那肯定就得用4减去3（这样才能得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可没有什么意义）。

所以，如果我们用f(x,t)描述波，那么初始时刻（t=0）的波可以表示为f(x,0)。经过时间t之后的波的图像就等于初始时刻的图像往右移动了vt，也就是f(x-vt,0)。于是，我们就可以从数学上给出波运动的本质：

也就是说，只要有一个函数满足f(x,t)=f(x-vt,0)，满足任意时刻的形状都等于初始形状平移一段，那么它就表示一个波。水波、声波、绳子上的波、电磁波、引力波都是如此，这也很符合我们对波的直观理解。

这里我们是从纯数学的角度给出了波的一个描述，下面我们再从物理的角度来分析一下波的形成原因，看看能不能得到更多的信息。

03张力

一根绳子放在地上的时候是静止不动的，我们甩一下就会出现一个波动。我们想一想：这个波是怎么传到远方去的呢？我们的手只是拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中间，但是当这个波传到中间的时候绳子确实动了，绳子会动就表示有力作用在它身上（牛爵爷告诉我们的道理），那么这个力是哪里来的呢？

稍微分析一下我们就会发现：这个力只可能来自绳子相邻点之间的相互作用，每个点把自己隔壁的点“拉”一下，隔壁的点就动了（就跟我们列队报数的时候只通知你旁边的那个人一样）这种绳子内部之间的力叫张力。

张力的概念也很好理解，比如我们用力拉一根绳子，我明明对绳子施加了一个力，但是这根绳子为什么不会被拉长？跟我的手最近的那个点为什么不会被拉动？

答案自然是这个点附近的点给这个质点施加了一个相反的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了。但是力的作用又是相互的，附近的点给端点施加了一个张力，那么这个附近的点也会受到一个来自端点的拉力，然而这个附近的点也没动，所以它也必然会受到更里面点的张力。这个过程可以一直传播下去，最后的结果就是这根绳子所有的地方都会张力。

而且，我们还可以断定：如果绳子的质量忽略不计，绳子也没有打结没有被拉长，那么绳子内部的张力处处相等（只要有一个点两边的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳子就会被拉变形），这是个很重要的结论。

通过上面的分析，我们知道了当一根理想绳子处于紧绷状态的时候，绳子内部存在处处相等的张力。当一根绳子静止在地面的时候，它处于松弛状态，没有张力，但是当一个波传到这里的时候，绳子会变成一个波的形状，这时候就存在张力了。正是这种张力让绳子上的点上下振动，所以，分析这种张力对绳子的影响就成了分析波动现象的关键。

04波的受力分析

那么，我们就从处于波动状态的绳子中选择很小的一段AB，我们来分析一下这个小段绳子在张力的作用下是如何运动的。放心，我们这里并不会涉及什么复杂的物理公式，我们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。

牛顿第一定律告诉我们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保持静止或者匀速直线运动状态”，那么如果合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：如果合外力F不为零，那么物体就会有一个加速度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描述（m是物体的质量）。也就是说，如果我们知道一个物体的质量m，只要你能分析出它受到的合外力F，那么我们就可以根据牛顿第二定律F=ma计算出它的加速度a，知道加速度就知道它接下来要怎么动了。

牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和运动情况（a）结合起来了，我们想知道一个物体是怎么动的，只要去去分析它受到了什么力就行了，所以它牛。

再来看我们的波，我们从处于波动状态的绳子里选取很小的一段AB，我们想知道AB是怎么运动的，就要分析它受到的合外力。因为不考虑绳子的质量，所以就不用考虑绳子的重力，那么，我们就只要分析绳子AB两端的张力T就行了。

如上图，绳子AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，而且我们还知道这两个张力是相等的，所以才把它都记为T。但是，我们知道波动部分的绳子是弯曲的，那么这两个张力的方向是不一样的，这一点从图中可以非常明显的看出来。我们假设A点处张力的方向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就明显不一样了，我们记为θ+Δθ。

因为绳子上的点在波动时是上下运动，所以我们只考虑张力T在上下方向上的分量，水平方向上的就不考虑了。那么，我们把AB两点的张力T都分解一下，稍微用一点三角函数的知识我们就能发现：B点处向上的张力为T·sin（θ+Δθ），A点向下的张力为T·sinθ。那么，整个AB段在竖直方向上受到的合力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

好了，按照牛顿第二定律F=ma，我们需要知道物体的合外力F、质量m和加速度a，现在我们已经知道了合外力F，那么质量m和加速度a呢？

05波的质量分析

质量好说，我们假设绳子单位长度的质量为μ，那么长度为Δl的绳子的质量就是μ·Δl。

但是，因为我们取的是非常小的一段，我们假设A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也就是说绳子AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当我们取的绳长非常短，波动非常小的时候，我们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳子的质量就可以表示为：μ·Δx（本来我在考虑这里要不要再解释一下微积分思想，但是一想，会看这篇电磁波篇的，必须是已经提前看了麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里已经介绍过这种思想了，那这里就不说了~）。

质量搞定了，剩下的就是加速度a了。你可能以为我已经得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质量m（μ·Δx），那么剩下肯定就是用合外力F除以质量m得到加速度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。我们还可以从另一个角度来得到加速度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从哪里得到加速度呢a？从描述波的函数f(x,t)里。

06波的加速度分析

不知道大家还记得我们在前面说的这个描述波的函数y=f(x,t)么？这个函数的值y表示的是在x这个地方，时间为t的时候这一点的纵坐标，也就是波的高度。我们现在要求的也就是AB上下波动时的加速度，那么，怎么从这个描述点位置的函数里求出加速度a呢？

这里我们再来理解一下加速度a，什么叫加速度？从名字就可以感觉到，这个量是用来衡量速度变化快慢的。加速度嘛，肯定是速度加得越快，加速度的值就越大。假如一辆车第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s，那么它的加速度就是用速度的差（4-2=2）除以时间差（2-1=1），结果就是2m/s²。

再来回想一下，我们是怎么求一辆车的速度的？我们是用距离的差来除以时间差的。比如一辆车第1秒钟距离起点20米，第2秒钟距离起点50米，那么它的速度就是用距离的差（50-20=30）除以时间差（2-1=1），结果就是30m/s。

不知道大家从这两个例子里发现了什么没有？我用距离的差除以时间差就得到了速度，我再用速度的差除以时间差就得到了加速度，这两个过程都是除以时间差。那么，如果我把这两个过程合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时间差，再除以一次时间差就可以得到加速度？

这样表述并不是很准确，但是可以很方便的让大家理解这个思想。如果把距离看作关于时间的函数，我们对这个函数求一次导数（就是上面的距离差除以时间差，只不过趋于无穷小）就得到了速度的函数，对速度的函数再求一次导数就得到了加速度的表示。所以，我们把一个关于距离（位置）的函数对时间求两次导数，就可以得到加速度的表达式。

波的函数f(x,t)不就是描述绳子上某一点在不同时间t的位置么？那我们对f(x,t)求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a。因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以我们只能对时间的偏导∂f/ ∂t，再求一次偏导数就加个2上去。于是我们就可以这样表示这点的加速度a=∂²f/ ∂t²（关于偏导数的介绍，微分篇里有详细叙述，这里不再说明）。

这样，我们就把牛顿第二定律F=ma的三要素都凑齐了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们集合在一起就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的运动方程了：

这个用牛顿第二定律写出来的波动方程，看起来怎么样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太清晰，方程左边的东西看着太麻烦了，我们还需要对它进行一番改造。那怎么改造呢？我们可以先把sinθ给干掉。

07方程的改造

为了能够顺利地干掉sinθ，我们先来回顾一下基本的三角函数：

如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。

当这个角度θ还很大的时候，a比b要明显长一些。但是，一旦角度θ非常非常小，可以想象，邻边b和斜边a就快要重合了。这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。

也就是说，在角度θ很小的时候，我们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。我们假设这根绳子的扰动非常小，形变非常小，那么θ和θ+Δθ就都非常小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，那个波动方程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。

为什么我们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率，代表曲线在某一点的导数。想想正切值的表达式tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx，它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。

然而，因为波的函数f(x,t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，原来的波动方程就可以写成这样：

这里我稍微解释一下偏导数的符号，我们用∂f/ ∂x表示函数f(x,t)的偏导数，这是一个函数，x可以取各种各样的值。但是如果我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就表示我要求在x+Δx这个地方的导数。

再来看一下这个图，我们已经约定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的角度为θ+Δθ。所以，我们可以用x+Δx和x这两处的偏导数值代替θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，所以波动方程才可以写成上面那样：

接着，如果我们再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实就是∂f/ ∂x这个函数的导数表达式。也就是说，两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那就是f(x,t)对x求二阶偏导数了。

上面我们用我们已经用∂²f/ ∂t²来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用∂²f/ ∂x²来表示函数对x的二阶偏导数。然后两边再同时除以T，得到方程就简洁多了：

把方程左边的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x,t)对空间x的二阶偏导数，这个过程非常的重要，大家可以好好体会一下这个过程。正切值tanθ就是一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了一次导数，于是总共就有了两阶，所以我们才能得到上面那个简洁的式子。

08经典波动方程

再看看方程右边的μ/T，如果你仔细去算一下μ/T的单位，你会发现它刚好就是速度的平方的倒数，也就是说如果我们把一个量定义成T/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：

这样定义速度v之后，我们最终的波动方程就可以亮相了：

这个方程就是我们最终要找的经典波动方程，为什么把它作做经典的波动方程呢？因为它没有考虑量子效应啊，在物理学里，经典就是非量子的同义词。如果我们要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，我们就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。薛定谔方程虽然厉害，但是它并没有考虑狭义相对论效应，而高速运动（近光速）的粒子在微观世界是很常见的，我们也知道当物体接近光速的时候就必须考虑相对论效应，但是薛定谔方程并没有做到这一点。

最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把自己关在房间三个月，最终逼出了同样大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程首次从理论上预言了反物质（正电子），虽然当时的科学家们认为狄拉克这是在胡闹，但是我国的物理学家赵忠尧先生却几乎在同时就首次在实验室里观测到了正负电子湮灭的情况。

另外，狄拉克的工作也推动了量子场论的诞生，打开了一扇让人无比神往的新世界大门。物理学家们沿着这条路驯服了电磁力、强力、弱力，建立起了粒子物理的标准模型，于是四海清平，天下大定，除了那该死的引力。这些精妙绝伦的故事我们后面再讲，如果把这些故事写成一本《量子英雄传》，嗯，一定不比金庸的武侠逊色~

好了，回归正题，看到这个经典波动方程到后面还能掀起那么大的浪来，是不是突然就对它肃然起敬了呢？我们这样一顿操作推导出了经典波动方程，有的朋友可能有点懵，没关系，我们再来捋一下。这个看着很复杂的，包含了二阶偏导数的方程其实就只是告诉我们：我们把这根绳子极小的一段看作一个质点，那么这个质点满足牛顿第二定律F=ma，仅此而已。

09复盘

我们整个推导过程不过就是去寻找F=ma中的这三个量。我们把绳子的张力在竖直方向做了分解，然后得到了它在竖直方向上的合力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；我们定义了单位长度的质量μ，然后就可以计算那小段绳子的质量m（μ·Δx）；我们通过对波的函数f(x,t)的分析，发现如果对这种表示距离（位移）的函数对时间求一次偏导数就得到了速度，再求一次偏导数就得到了加速度，于是我们就得到了这段绳子的加速度a（∂²f/ ∂t²）。然后我们就把这些量按照牛顿第二定律F=ma拼了起来。

在处理问题的过程中，我们做了很多近似：因为我们是取得很小的一段，那么我们就可以用Δx近似代替绳子的长度Δl；假设扰动很小，绳子偏离x轴很小，那么角度θ就很小，我们就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。很多人乍一看，觉得这么严格的推导怎么能这么随意的近似呢？你这里近似那里近似，得到的最终结果还是准确的么？

要理解这个问题，就得正式去学习微积分了，我现在告诉你微积分的核心思想就是一种以直代曲的近似，你信么？微积分里就是用各种小段小段的直线去近似的代替曲线，但是得到的结果却是非常精确的。因为我们可以把这些线段取得非常非常的小，或者说是无穷小，那么这个误差也就慢慢变成无穷小了。所以我们在分析这根绳子的时候，也都强调了是取非常小的一段，给一个非常小的扰动，得到一个非常小的角度θ。

另外，tanθ就是一次导数，然后它们的差再除以一次Δx，就又出现了一次导数，所以方程的左边就出现了f(x,t)对位置x的两次偏导数。方程的右边就是函数f(x,t)对时间t求两次偏导数得到的加速度a（求一次导数得到速度，求两次就得到加速度）。

所以，虽然我们看到的是一个波动方程，其实它只是一个变装了的牛顿第二定律F=ma。理解这点，波动方程就没什么奇怪的了。我们再来仔细的审视一下这个方程：

这个波动方程的意义也很直观，它告诉我们f(x,t)这样一个随时间t和空间x变化的函数，如果这个二元函数对空间x求两次导数得到的∂²f/ ∂x²和对时间t求两次导数得到的∂²f/ ∂t²之间满足上面的那种关系，那么f(x,t)描述的就是一个波。

如果我们去解这个方程，我们得到的就是描述波的函数f(x,t)。而我们前面对波做数学分析的时候得到了这样一个结论：如果一个函数f(x,t)描述的波，那么就一定满足f(x,t)=f(x-vt,0)。所以，波动方程的解f(x,t)肯定也都满足前面这个关系，这一点感兴趣的朋友可以自己下去证明一下。

好了，经典的波动方程我们就先讲到这里。有了波动方程，你会发现我们通过几步简单的运算就能从麦克斯韦方程组中推导出电磁波的方程，然后还能确定电磁波的速度。

10真空中的麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组的微分形式是这样的：

这组方程的来龙去脉长尾科技在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》里已经做了详细的介绍，这里不再多说。这组方程里，E表示电场强度，B表示磁感应强度，ρ表示电荷密度，J表示电流密度，ε0和μ0分别表示真空中的介电常数和磁导率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别表示散度和旋度：

接下来我们的任务，就是看如何从这组方程里推出电磁波的方程。

首先，如果真的能形成波，那么这个波肯定就要往外传，在远离了电荷、电流（也就是没有电荷、电流）的地方它还能自己传播。所以，我们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，我们得到的就是真空中的麦克斯韦方程组：

有些人觉得你怎么能让电荷密度ρ等于0呢？这样第一个方程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，没有电场了么？没有电场还怎么来的电磁波？

很多人初学者都会有这样一种误解：好像觉得电场的散度▽·E等于0了，那么就没有电场了。其实，电场的散度等于0，只是告诉你通过包含这一点的无穷小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以进出这个曲面的电通量（电场线的数量）相等。这样有多少正的电通量（进去的电场线数量）就有多少负的电通量（出来的电场线数量），进出正负抵消了，所以总的电通量还是0。于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。

所以这个大家一定要区分清楚：电场E的散度为0不代表电场E为0，它只是要求电通量为0而已，磁场也一样。

这样我们再来审视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组：方程1和2告诉我们真空中电场和磁场的散度为0，方程3和4告诉我们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。前两个方程都是独立的描述电和磁，后两个方程则是电和磁之间的相互关系。我们隐隐约约也能感觉到：如果要推导出电磁波的方程，你肯定得把上面几个式子综合起来，因为波是要往外传的，而你上面单独的方程都只是描述某一点的旋度或者散度。

有一个很简单的把它们都综合在一起的方法：对方程3和方程4两边同时再取一次旋度。

方程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取一次旋度就变成了▽×（▽×E）；方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟方程4联系起来了么？对方程4两边取旋度看起来也一样，这看起来是个不错的兆头。

可能有些朋友会有一些疑问：你凭什么对方程3和4的两边取旋度，而不取散度呢？如果感兴趣你可以两边都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的结果恒等于0。

这一点你看方程3 的右边会更清楚，方程3的右边是磁场的变化率，你如果对方程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0就是方程2的内容）。这样就得不出什么有意义的结果，你算出0=0能得到什么呢？

所以，我们现在的问题变成了：如何求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因为旋度毕竟和叉乘密切相关，所以我们还是先来看看叉乘的叉乘。

11叉乘的叉乘

在积分篇和微分篇里，我已经跟大家详细介绍了矢量的点乘和叉乘，而且我们还知道点乘的结果A·B是一个标量，而叉乘的结果A×B是一个矢量（方向可以用右手定则来判断，右手从A指向B，大拇指的方向就是A×B的方向）。

而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的结果是一个标量，它就不能再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。但是，A×B的结果仍然是一个矢量啊，那么按照道理它还可以继续跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样我们的运算就可以有三个矢量参与，这种结果我们就称为三重积。

A·（B×C）的结果是一个标量，所以这叫标量三重积；A×（B×C）的结果还是一个矢量，它叫矢量三重积。

标量三重积A·（B×C）其实很简单，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们组成的平行四边形的面积，那么这个面积再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好就是三个矢量A、B、C组成的平行六面体的体积。

这个大家对着上面的图稍微一想就会明白。而且，既然是体积，那么你随意更换它们的顺序肯定都不会影响最终的结果。我们真正要重点考虑的，还是矢量三重积。

矢量三重积A×（B×C），跟我们上面说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）形式相近，密切相关。它没有上面标量三重积那样简单直观的几何意义，我们好像只能从数学上去推导，这个推导过程，哎，我还是直接写结果吧：

A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。

结果是这么个东西，是不是很难看？嗯，确实有点丑。不过记这个公式有个简单的口诀：远交近攻。什么叫远交近攻呢？当年秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近一些，距离C远一些，所以A要联合C（A·C前面的符合是正号）攻打B（A·B前面的符号是负号），这样这个公式就好记了，感兴趣的可以自己去完成推导的过程。

12旋度的旋度

有了矢量三重积的公式，我们就来依样画葫芦，来套一套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。我们对比一下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只要把A和B都换成▽，把C换成E就行了。那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。

嗯，▽（▽·E）表示电场E的散度的梯度，散度▽·E的结果是一个标量，标量的梯度是有意义的，但是后面那个E（▽·▽）是什么鬼？两个▽算子挤在一起，中间还是一个点乘的符号，看起来好像是在求▽的散度（▽·），可是▽是一个算子，又不是一个矢量函数，你怎么求它的散度？而且两个▽前面有一个电场E，怎么E还跑到▽算子的前面去了？

我们再看一下矢量三重积的公式的后面一项C（A·B）。这个式子的意思是矢量A和B先进行点乘，点乘的结果A·B是一个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。很显然的，如果是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前面后面都无所谓（3C=C3），也就是说C（A·B）=（A·B）C。

那么，同样的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就牵扯出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。

13拉普拉斯算子▽²

拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的平方，其实它的定义是梯度的散度。

我们假设空间上一点（x,y,z）的温度由T（x,y,z）来表示，那么这个温度函数T（x,y,z）就是一个标量函数，我们可以对它取梯度▽T，因为梯度是一个矢量（梯度有方向，指向变化最快的那个方向），所以我们可以再对它取散度▽·。

我们利用我们在微分篇学的▽算子的展开式和矢量坐标乘法的规则，我们就可以把温度函数T（x,y,z）的梯度的散度（也就是▽²T）表示出来：

再对比一下三维的▽算子：

所以，我们把上面的结果（梯度的散度）写成▽²也是非常容易理解的，它跟▽算子的差别也就是每项多了一个平方。于是，拉普拉斯算子▽²就自然可以写成这样：

从拉普拉斯算子▽²的定义我们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是我们把▽²稍微扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x,y,z）。我们只要让矢量函数的每个分量分别去取▽²，就可以定义矢量函数的▽²：

定义了矢量函数的拉普拉斯算子，我们稍微注意一下下面的这个结论（课下自己去证明）：

然后再看看中间的那个东西，是不是有点眼熟？

我们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？现在我们就可以理直气壮地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。

至此，我们利用矢量的三重积公式推电场E的旋度的旋度的过程就结束了，然后我们就得到了这个极其重要的结论：

它告诉我们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了。

14见证奇迹的时刻

我们再来看看真空中的麦克斯韦方程组：

它的第三个方程，也就是法拉第定律是这样表示的：

我们对这个公式两边都取旋度，左边就是上面的结论，右边无非就是对磁感应强度B取个旋度，即：

你看看这几项，再看看真空中的麦克斯韦方程组：方程1告诉我们▽·E=0，方程4告诉我们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），我们把这两项代入到上面的式子中去，那结果自然就变成了：

μ0、ε0都是常数，那右边自然就变成了对电场E求两次偏导。再把负号整理一下，最后的式子就是这样：

嗯，于是我们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个方程只包含电场E。我们再对比一下我们之前唠叨了那么多得出的经典波动方程：

我们在推导经典波动方程的时候只考虑了一维的情况，因为我们只考虑波沿着绳子这一个维度传播的情况，所以我们的结果里只有∂²f/ ∂x²这一项。如果我们考虑三维的情况，那么不难想象波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好就是f的三维拉普拉斯：

所以我们的经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的形式：

再看看我们刚刚从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：

嗯，我们推出的电场的方程跟经典波动方程的形式是一模一样的，现在我们说电场E是一个波，你还有任何异议么？

我们把电场E变成了一个独立的方程，代价是这个方程变成了二阶（方程出现了平方项）的。对于磁场，一样的操作，我们对真空中麦克斯韦方程组的方程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））两边取旋度，再重复一次上面的过程，就会得到独立的磁感应强度B的方程：

这样，我们就发现E和B都满足波动方程，也就是说电场、磁场都以波动的形式在空间中传播，这自然就是电磁波了。

15电磁波的速度

对比一下电场和磁场的波动方程，你会发现它们是形式是一模一样的（就是把E和B互换了一下），这样，它们的波速也应该是一样的。对比一下经典波动方程的速度项，电磁波的速度v自然就是这样：

我们去查一下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算一算：

再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。

前者是我们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速度，后者是从实验里测出来的光速。有这样的数据做支撑，麦克斯韦当年才敢大胆的预测：光就是一种电磁波。

当然，“光是一种电磁波”在我们现在看来并不稀奇，但是你回顾一下历史：科学家们是在研究各种电现象的时候引入了真空介电常数ε0，在研究磁铁的时候引入了真空磁导率μ0，它们压根就跟光无关。麦克斯韦基于理论的美学和他惊人的数学才能，提出了位移电流假说（从推导里我们也可以看到：如果没有麦克斯韦加入的位移电流这一项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速度只跟μ0、ε0相关，还刚好就等于人们测量的光速，这如何能不让人震惊？

麦克斯韦一直以为自己在研究电磁理论，但是当他的电磁大厦落成时，他却意外地发现光的问题也被顺手解决了，原来他一直在盖的是电磁光大厦。搞理论研究还可以买二送一，打折促销力度如此之大，惊不惊喜，意不意外？

总之，麦克斯韦相信自己的方程，相信光是一种电磁波，当赫兹最终在实验室里发现了电磁波，并证实它的速度确实等于光速之后，麦克斯韦和他的理论获得了无上的荣耀。爱因斯坦后来却因为不太相信自己的方程（认为宇宙不可能在膨胀）转而去修改了它，于是他就错失了预言宇宙膨胀的机会。当后来哈勃用望远镜观测到宇宙确实在膨胀时，爱因斯坦为此懊恼不已。

16结语

回顾一下电磁波的推导过程，我们就是在真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4的两边取旋度，然后就很自然的得出了电磁波的方程，然后得到了电磁波的速度等于光速c。这里有一个很关键的问题：这个电磁波的速度是相对谁的？相对哪个参考系而言的？

在牛顿力学里，我们说一个物体的速度，肯定是相对某个参考系而言的。你说高铁的速度是300km/h，这是相对地面的，你相对太阳那速度就大了。这个道理在我们前面讨论的波那里也一样，我们说波的速度一般都是这个波相对于它所在介质的速度：比如绳子上的波通过绳子传播，这个速度就是相对于绳子而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速度就是相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空中听不到声音），声波的速度就自然是相对空气的速度。

那么，电磁波呢，从麦克斯韦方程组推导出的电磁波的速度是相对谁的？水？空气？显然都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质才能传播，它在真空中也能传播，不然你是怎么看到太阳光和宇宙深处的星光的？而且我们在推导电磁波的过程中也根本没有预设任何参考系。

于是当时的物理学家们就假设电磁波的介质是一种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是大家开始去寻找以太，但是怎么找都找不到。另一方面，电磁波的发现极大地支持了麦克斯韦的电磁理论，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像极了现在广义相对论和量子力学之间的矛盾。怎么办呢？

1879年，麦克斯韦去世，同年，爱因斯坦降生，这仿佛是两代伟人的一个交接仪式。麦克斯韦电磁理论与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年轻的爱因斯坦搞定了，爱因斯坦搞定它们的方法就是大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁理论提出来之后，狭义相对论的问世就几乎是必然的了，因为麦克斯韦的电磁理论其实就是狭义相对论框架下的理论，这也是它跟牛顿力学冲突的核心。所以，爱因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电动力学》。

麦克斯韦的电磁理论结束了一个时代，却又开启了一个新时代（相对论时代），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论才能解决这种矛盾？这些将是我后面要讨论的重点。我会尽力让大家看到科学的发展有它清晰的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就提出一个石破天惊的新理论出来的。

此外，电磁理论和牛顿力学的融合是人类解决两个非常成功却又直接冲突理论的一次非常宝贵的经验，这跟我们现在面临的问题（广义相对论和量子力学的冲突）非常类似。我希望能够通过这种叙述给喜欢科学的少年们一些启示，让他们以后面对广义相对论和量子力学冲突的时候，能够有一些灵感。

嗯，没错，我在期待未来的爱因斯坦~

相关文章：

《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》

《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》

2004年，英国的科学期刊《物理世界》举办了一个活动：让读者选出科学史上最伟大的公式。结果，麦克斯韦方程组力压质能方程、欧拉公式、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。

麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预言光就是一种电磁波，这是物理学家在统一之路上的巨大进步。很多人都知道麦克斯韦方程组，知道它极尽优美，并且描述了经典电磁学的一切。但是，真正能看懂这个方程组的人却不多，因为它不像质能方程、勾股定理这样简单直观，等式两边的含义一眼便知。毕竟，它是用积分和微分的形式写的，而大部分人要到大学才正式学习微积分。

不过大家也不用担心，麦克斯韦方程组虽然在形式上略微复杂，但是它的物理内涵确是非常简单的。而且，微积分也不是特别抽象的数学内容，大家只要跟着长尾科技的思路，看懂这个“最伟大“的方程也不会是什么难事~

01电磁统一之路

电和磁并没有什么明显的联系，科学家一开始也是独立研究电现象和磁现象的。这并不奇怪，谁能想到闪电和磁铁之间会有什么联系呢？

1820年，奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意，但是可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打，最后发现了电流的磁效应，也就是说电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。

消息一出，物理学家们集体炸锅，立马沿着这条路进行深入研究。怎么研究呢？奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么这个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢？比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度的多大呢？这种思路拓展很自然吧，定性的发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它，还可以精确的计算它，才算完全了解。

三个月，在奥斯特正式发表他的发现仅仅三个月之后，毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名的毕奥-萨伐尔定律。也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律，我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐。

又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。顺便，安培还总结了一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）。

至此，电生磁这一路的问题“似乎”基本解决了，我们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小，用安培定则判断磁场的方向。那么，我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁，秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能够生磁，那么磁能不能生电呢？

由于种种原因，奥斯特在1820年发现了电生磁，人类直到11年后的1831年，才由天才实验物理学家法拉第发现了磁生电的规律，也就是电磁感应定律。法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电。

发现电磁感应定律之后，我们知道了磁如何生电，有了安培环路定理，我们就知道电流如何产生磁场。咋一看，有关电磁的东西我们好像都有解决方案了。其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的，所以它只能处理电流周围表示磁场的情况。

但是，如果没有电流呢？如果我压根就没有导线让你可以形成电流，如果仅仅是电场发生了变化，那么这样能不能产生磁场呢？大家不要觉得我胡搅蛮缠，你想想，根据电磁感应定律，变化的磁场是可以产生电场的。所以，我会反过来猜想变化的电场能否产生磁场并不奇怪。而这，正好是安培环路定理缺失的部分。

于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充，把变化的电场也能产生磁场这一项也添加了进去，补齐了这最后一块短板。

到这里，电和磁的统一之路就走得差不多了，麦克斯韦方程组的基本形式也呼之欲出了。这里我先让大家考虑一下：我们都知道麦克斯韦方程组描述了经典电磁学的一切，而且它是由四个方程组成的。那么，如果让你选择四个方程来描述电磁里的一切，你大致会选择四个什么样的方程呢？

此处思考一分钟……

我不知道大家是怎么考虑的，反正我觉得下面这条思路是很自然的：如果要用四个方程描述电磁的一切，那么我就用第一个方程描述电，第二个方程描述磁，第三个方程描述磁如何生电，第四个方程描述电如何生成磁。嗯，好巧，麦克斯韦方程组就是这样的～

所以，我们学习麦克斯韦方程组，就是要看看它是如何用四个方程优雅自洽地描述电、磁、磁生电、电生磁这四种现象的。接下来我们就来一个个地看。

02库仑的发现

在奥斯特发现电流的磁效应之前，人类已经单独研究电研究了好长时间，人们发现电荷有正负两种，而且同性相斥，异性相吸。后来库伦发现了电荷之间相互作用的定量关系，它发现电荷之间的作用力跟距离的平方成反比的。也就是说，如果我把两个电荷之间的距离扩大为原来的两倍，这两个电荷之间的作用力就会减少为原来的四分之一，扩大为三倍就减少为九分之一。

这个跟引力的效果是一样的，引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一。为什么大自然这么偏爱“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里。

什么意思？我们可以想想：假设现在有一个点源开始向四面八方传播，因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻能量达到的地方就会形成一个球面。而球面的面积公式S=4πr²（r为半径），它是跟半径的平方r²成正比的，这也就是说：我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr²个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟4πr²成反比，这就是平方反比定律的更深层次的来源。

因此，如果我们生活在四维空间里，我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科学家们寻找高维度的一个方法。许多理论（比如超弦理论）里都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力，如果引力在一个很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度。

好了，从更深层次理解了静电力遵循平方反比定律后，要猜出静电力的公式就是很简单的事情了。因为很明显的，两个电荷之间的静电力肯定跟两者的电荷量有关，而且还是电荷越大静电力越大，加上距离平方反比规律，两个电荷之间的静电力大致就是下面这样的了：

这就是我们中学学的库伦定律：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，剩下的都是常数。q1、q2就是两个电荷的电荷量，ε0是真空的介电常数（先不管它是啥意思，知道是个跟电相关的常数就行了），我们熟悉的球面积公式S=4πr²赫然出现在分母里，这是三维空间平方反比规律的代表。

库伦定律是一个实验定律，也就说库伦做了很多实验发现两个电荷之间确实存在着一个这么大小的静电力，但是它并没有告诉你这个静电力是如何传递的。两个并没有接触的物体之间存在某种力，一个常见的想法就是这两个物体之间存在着某种我们看不见的东西在帮它们传递作用力，那么这种东西是什么呢？有人认为是以太，有人认为是某种弹性介质，但是法拉第说是力线，而且这种力线不是什么虚拟的辅助工具，而是客观的物理实在。它可以传递作用力，也可以具有能量。这些思想慢慢形成了我们现在熟知的场。

03电场的叠加

有了场，我们就可以更加细致的描述两个电荷之间的相互作用了。为什么两个电荷之间存在这样一个静电力呢？因为电荷会在周围的空间中产生一个电场，这个电场又会对处在其中的电荷产生一个力的作用。这个电场的强度越大，电荷受到的力就越大，正电荷受力的方向就是这点电场的方向。所以，电场具有大小和方向，这是一个矢量。

为了直观形象的描述电场，我们引入了电场线。电场线的密度刚好就代表了电场强度的大小，而某点电场线的切线方向就代表了该处电场的方向。一个正电荷就像太阳发光一样向四周发射电场线，负电荷就汇集电场线。

这些内容大家在中学的时候应该都学了，我就一笔带过，接下来我们考虑一个稍微复杂一点的问题：库伦定律告诉了我们两个点电荷之间静电力的大小，那么我们就可以根据这个求出一个点电荷周围的电场强度。然而，一个点电荷是最简单的情况，如果带电源再复杂一点呢？如果我有很多个电荷，或者说我直接就是一块形状不规则的带电体，这时候我们要怎么求它产生的电场呢？

一个很简单自然的想法就是：如果有很多个电荷，我就把每个电荷在这点产生的电场强度算出来，再把它们叠加起来就行了。如果这是一个连续的带电体（比如一根带电的线），那我们就再次举起牛顿爵爷留给我们的微积分大刀，哗啦啦地把这个带电体切成无数个无穷小的部分，这样每一个无穷小的部分就可以看做一个点电荷，然后把这无数个点电荷在那点产生的电场强度叠加起来（就是积分）就行了。

我们上面的思路其实就是秉着“万物皆可切成点，万物皆可积”的精神，强行让库伦定律和微积分联姻，“硬算”出任何带电体在任意位置的场强。这在原理上是行得通的，没问题，但是在具体操作上就很复杂了，有没有更简单优雅一点的办法呢？

有，不过这需要我们换个角度看问题。物理学研究物体运动变化的规律，但是物体时时刻刻都处在变化之中，你要怎么去寻找它的规律呢？这里就涉及到科学研究的一个重要思想：把握变化世界里那些不变的东西。

牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同不变的东西，不管物体怎样运动，受到什么样的力，这个东西只由物体的密度和体积决定，于是牛顿从中提炼出了质量的概念（当然，现在质量是比密度体积更基本的概念）；科学家们发现物体在各种变化的过程中有某种守恒的东西，于是提炼出了能量的概念。那么，带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能也提炼出某种不变的东西呢？

04通量的引入

我们先不管电，先来看看我们更熟悉的水。毕竟水流和电流有某种相似之处，

我在一个水龙头的出口处装一个喷头，让水龙头向周围的空间喷射水流（就像正电荷喷射电场线一样），然后我用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来。那么，从水龙头出来的所有的水都必须穿过这个塑料袋，然后才能去其他地方，穿过这个塑料袋的表面是所有水的必经之路。

这个看似平常的现象后面却隐藏了这样一个事实：无论塑料袋有多大，是什么形状，只要你是密封的。那么，从水龙头流出的水量就一定等于通过这个塑料袋表面的水量。

从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量。通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量，通过塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。这样上面的例子我们就可以说成水龙头的出水量等于塑料袋的水通量了。

好，水的事就先说到这里，我们再回过头来看看电。还是用上面的实验，现在我们把水龙头换成一个正电荷，我们还是用一个完全透电（对电没有任何阻力）的塑料袋套住一个正电荷，那会发生什么呢？水龙头的喷头散发的是水流，正电荷“散发”的是电场线；通过该塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么电场线通过塑料袋的数量自然就叫塑料袋的电通量。对于水通量，我们知道它等于水龙头的出水量，那么塑料袋的电通量等于什么呢？

我们知道，之所以会有电场线，是因为空间中存在电荷。而且，电荷的电量越大，它产生的电场强度就越大，电场线就越密，那么穿过塑料袋的电场线的数量就越多，对应的电通量就越大。所以，我们虽然无法确定这个电通量的具体形式，但是可以肯定它一定跟这个塑料袋包含的电荷量有关，而且是正相关。

这就是在告诉我们：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量就越大，反之亦然。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想。

把这个思想从电翻译到水上面去就是：通过一个闭合曲面的水量是这个曲面内包含水龙头水压的量度，水压越大，水龙头越多，通过这个闭合曲面的水量就越大。这几乎已经接近“废话”了~所以，大家面对那些高大上的公式方程的时候不要先自己吓自己，很多所谓非常高深的思想，你把它用人话翻译一下，就会发现它非常简单自然。

我们再来审视一下高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比。那么，我们要怎么样把这个思想数学化呢？电荷的总量好说，就是把所有电荷的带电量加起来，那么通过一个闭合曲面的电通量要怎么表示呢？

05电场的通量

我们先从最简单的情况看起。

问题1：我们假设空间里有一个电场强度为E的匀强电场，然后有一个面积为a的木板跟这个电场方向垂直，那么，通过这个木板的电通量Φ要怎么表示呢？

我们想想，我们最开始是从水通过曲面的流量来引入通量的，到了电这里，我们用电场线通过一个曲面的数量表示电通量。而我们也知道，电场线的密度代表了电场强度的大小。所以，我们就能很明显的发现：电场强度越大，通过木板的电场线数量越多；木板的面积越大，通过木板的电场线数量越多。而电场线的数量越多，就意味着电通量越大。

因为电场强度E是一个矢量（有大小和方向），所以我们用E的绝对值|E|来表示E的大小，那么我们直接用电场强度的大小|E|和木板面积a的乘积来表示电通量的大小是非常合理的。也就是说，通过木板的电通量Φ=|E|×a。

木板和电场线方向相互垂直是最简单的情况，如果木板和电场的方向不垂直呢？

问题2：还是上面的木板和电场，如果木板跟电场的方向不是垂直的，它们之间有一个夹角θ，那这个电通量又要怎么求呢？

如上图，首先，我们能直观地感觉到：当木板不再和电场方向垂直的时候，这个木板被电场线穿过的有效面积减小了。原来长度为AB的面都能挡住电场线，现在，虽然还是那块木板，但是真正能够有效挡住电场线的变成了BC这个面。

然后，我们再来谈一谈曲面的方向，可能很多人都认为曲面的方向就是定义为AB的方向。其实不是的，我们是用一个垂直于这个平面的向量的方向表示这个平面的方向，这个向量就叫这个平面的法向量。如上图所示，我画了一个跟木板垂直的法向量n，那么这个法向量n和电场E的夹角才是木板这个平面和电场的夹角θ。

AB、BC和θ之间存在一个非常简单的三角关系：BC=AB×cosθ（因为夹角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里邻边和斜边的比值）。而我们有知道垂直的时候通过木板的电通量Φ=|E|×|a|，那么，当它们之间有一个夹角θ的时候，通过木板的电通量自然就变成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。

06矢量的点乘

到了这里，我们就必须稍微讲一点矢量和矢量的乘法了。

通俗地讲，标量是只有大小没有方向的量。比如说温度，房间某一点的温度就只有一个大小而已，并没有方向；再比如质量，我们只说一个物体的质量是多少千克，并不会说质量的方向是指向哪边。而矢量则是既有大小，又有方向的量。比如速度，我们说一辆汽车的速度不仅要说速度的大小，还要指明它的方向，它是向东还是向南；再比如说力，你去推桌子，这个推力不仅有大小（决定能不能推动桌子），还有方向（把桌子推向哪一边）。

标量因为只有大小没有方向，所以标量的乘法可以直接像代数的乘法一样，让它们的大小相乘就行了。但是，矢量因为既有大小又有方向，所以你两个矢量相乘就不仅要考虑它的大小，还要考虑它的方向。假如你有两个矢量，一个矢量的方向向北，另一个向东，那么它们相乘之后得到的结果还有没有方向呢？如果有，这个方向要怎么确定呢？

这就是说，我们从小学开始学习的那种代数乘法的概念，在矢量这里并不适用，我们需要重新定义一套矢量的乘法规则，比如我们最常用的点乘（符号为‘·’）。你两个标量相乘就是直接让两个标量的大小相乘，我现在矢量不仅有大小还有方向，那么这个方向怎么体现呢？简单，我不让你两个矢量的大小直接相乘，而是让一个矢量的投影和另一个矢量的大小相乘，这样就既体现了大小又体现了方向。

如上图，我们有两个矢量OA和OB（线段的长短代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向），我们过A点做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么线段OC的长度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根据三角函数的定义，一个角度θ的余弦cosθ被定义为邻边（OC）和斜边（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（绝对值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示为：OC=|OA|×cosθ。

既然两个矢量的点乘被定义为一个矢量的投影和和另一个矢量大小的乘积，现在我们已经得到了投影OC的表达式，那么矢量OA和OB的点乘就可以表示为：

OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。

为什么我们上面明明还在讲电场通过一个平面的通量，接着却要从头开始讲了一堆矢量的点乘的东西呢？因为电场强度也是一个矢量，它有大小也有方向（电场线的密度代表大小，电场线的方向代表它的方向）；平面其实也是一个矢量，平面的大小不用说了，平面的方向是用垂直于这个平面的法向量来表示的。而且，我们再回顾一下当平面跟电场方向有一个夹角θ的时候，通过这个平面的电通量Φ=|E|×|a|×cosθ。这是不是跟上面两个矢量点乘右边的形式一模一样？

也就是说，如果我们从矢量的角度来看：电场E通过一个平面a的电通量Φ就可以表示为这两个矢量（电场和平面）的点乘，即Φ=E·a（因为根据点乘的定义有E·a=|E|×|a|×cosθ）。

这种表述既简洁又精确，你想想，如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地会出现很多和夹角θ相关的地方。更关键的是，电场强度和平面本来就都是矢量，你使用矢量的运算天经地义，为什么要用标量来代替它们呢？

总之，我们知道一个电场通过一个平面的电通量可以简洁的表示为：Φ=E·a，这就够了。但是，高斯电场定律的核心思想是通过闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比，我们这里得到的只是一个电场通过一个平面的电通量，一个平面和一个闭合曲面还是有相当大的区别的。

07闭合曲面的电通量

知道怎么求一个平面的电通量，要怎么求一个曲面的电通量呢？

这里就要稍微涉及一丢丢微积分的思想了。我们都知道我们生活在地球的表面，而地球表面其实是一个球面，那么，为什么我们平常在路上行走时却感觉不到这种球面的弯曲呢？这个答案很简单，因为地球很大，当我们从月球上遥望地球的时候，我们能清晰地看到地球表面是一个弯曲的球面。但是，当我们把范围仅仅锁定在我们目光周围的时候，我们就感觉不到地球的这种弯曲，而是觉得我们行走在一个平面上。

地球的表面是一个曲面，但是当我们只关注地面非常小的一块空间的时候，我们却觉得这是一个平面。看到没有，一个曲面因为某种原因变成了一个平面，而我们现在的问题不就是已知一个平面的电通量，要求一个曲面的电通量么？那么地球表面的这个类比能不能给我们什么启发呢？

弯曲的地球表面在小范围内是平面，这其实是在启发我们：我们可以把一个曲面分割成许多块，只要我们分割得足够细，保证每一小块都足够小，那么我们是可以把这个小块近似当作平面来处理的。而且不难想象，我把这个曲面分割得越细，它的每一个小块就越接近平面，我们把这些小平面都加起来就会越接近这个曲面本身。

下面是重点：如果我们把这个曲面分割成无穷多份，这样每个小块的面积就都是无穷小，于是我们就可以认为这些小块加起来就等于这个曲面了。这就是微积分最朴素的思想。

如上图，我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx，宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy。如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da。如果我们我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。

这个思想总体来说还是很简单的，只是涉及到了微积分最朴素的一些思想。如果要我们具体去计算可能就会比较复杂，但是庆幸的是，我们不需要知道具体如何计算，我们只需要知道怎么表示这个思想就行了。一个小块da的电通量是E·da，那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面S的总电通量：

这个拉长的大S符号就是积分符号，它就是我们上面说的微积分思想的代表。它的右下角那个S代表曲面S，也就是说我们这里是把这个曲面S切割成无穷小块，然后对每一块都求它的通量E·da，然后把通量累积起来。至于这个大S中间的那个圆圈就代表这是一个闭合曲面。

08方程一：高斯电场定律

总之，上面这个式子就代表了电场E通过闭合曲面S的总电通量，而我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比。那么，这样我们就能非常轻松的理解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：

方程的左边，我们上面解释了这么多，这就是电场E通过闭合曲面S的电通量。方程右边带enc下标的Q表示闭合曲面内包含的电荷总量，ε0是个常数（真空介电常数），暂时不用管它。等号两边一边是闭合曲面的电通量，另一边是闭合曲面包含的电荷，我们这样就用数学公式完美地诠释了我们的思想。

麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电、静磁、磁生电、电生磁的过程。库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电，为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想。我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线（由于历史原因无法使用磁场线这个名字），那么，我们是不是也可以类似建立磁通量的概念，然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？

09方程二：高斯磁场定律

磁通量的概念很好建立，我们可以完全模仿电通量的概念，将磁感线通过一个曲面的数量定义磁通量。因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度（因为历史原因，我们这里无法使用磁场强度）的大小。所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为B的磁场通过一个平面a的磁通量Φ表示为Φ=B·a。

同样，根据我们在上面电场里使用的微积分思想，类比通过闭合曲面电通量的作法，我们可以把通过一个闭合曲面S的磁通量表示为：

然后，我们可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律，它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。

然而这里会有个问题，我们知道自然界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集与负电荷。但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存。所以，磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头，也不会汇集到某个地方去，它只能是一条闭合的曲线。

上图是一个很常见的磁铁周围的磁感线，磁铁外部的磁感线从N极指向S极，在磁铁的内部又从S极指向N极，这样就形成一个完整的闭环。

如果磁感线都是一个闭环，没有独立存在的磁单极，那我们可以想一想：如果你在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定就是有多少磁感线从曲面进去，就肯定有多少跟磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出，那它就不可能是闭合的了，反之亦然。

如果一个闭合曲面有多少根磁感线进，就有多少根磁感线出，这意味着什么呢？这就意味着你进去的磁通量跟出来的磁通量相等，那么最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0。

通过闭合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套个曲面的积分符号就表示曲面的磁通量）我们上面已经说了，恒为0无非就是在等号的右边加个0，所以高斯磁场定律的数学表达式就是这样的：

对比一下高斯电场定律和高斯磁场定律，我们会发现他们不仅是名字想象，思想也几乎是一模一样的，只不过目前还没有发现磁荷、磁单极子，所以高斯磁场定律的右边就是一个0。我们再想一想：为什么这种高斯XX定律能够成立？为什么通过任意闭合曲面的某种通量会刚好是某种量的一个量度？

原因还在它们的“平方反比”上。因为电场强度和磁感应强度都是跟距离的平方成反比，而表面积是跟距离的平方正比，所以你前者减小多少，后者就增加多少。那么，如果有一个量的表示形式是前者和后者的乘积，那么它的总量就会保持不变。而通量刚好就是XX强度和表面积的乘积，所以电通量、磁通量就都会有这样的性质。

所以，再深思一下你就会发现：只要一种力的强度是跟距离平方成反比，那么它就可以有类似的高斯XX定律，比如引力，我们一样可以找到对应的高斯定律。数学王子高斯当年发现了高斯定理，我们把它应用在物理学的各个领域，就得到了各种高斯XX定律。麦克斯韦方程组总共就四个方程，就有两个高斯定律，可见其重要性。

静电和静磁方面的事情就先说这么多，还有疑问的请咨询高斯，毕竟这是人家独家冠名的产品。接下来我们来看看电和磁之间的交互，看看磁是如何生电，电是如何生磁的。说到磁如何生电，那就肯定得提到法拉第。奥斯特发现电流的磁效应之后，大家秉着对称性的精神，认为磁也一定能够生电，但是磁到底要怎样才能生电呢？不知道，这就得做实验研究了。

10电磁感应

既然是要做实验看磁如何生电，那首先肯定得有一个磁场。这个简单，找两块N极和S极相对的磁铁，这样它们之间就会有一个磁场。我再拿一根金属棒来，看看它有没有办法从磁场中弄出电来。因为金属棒是导电的，所以我把它用导线跟一个检测电流的仪器连起来，如果仪器检测到了电流，那就说明磁生电成功了。

法拉第做了很多这样的实验，他发现：你金属棒放在那里不动，是不会产生电流的（这是自然，否则你就是凭空产生了电，能量就不守恒了。你要这样能发电，那我买块磁铁回家，就永远不用再交电费了）。

然后，他发现金属棒在那里动的时候，有时候能产生电流，有时候不能产生，你要是顺着磁感线的方向运动（在上图就是左右运动）就没有电流，但是你要是做切割磁感线的运动（在上图就是上下运动）它就能产生电流。打个通俗的比喻：如果把磁感线想象成一根根面条，你只有把面条（磁感线）切断了才会产生电流。

再然后，他发现金属棒在磁场里不动虽然不会产生电流，但是如果这时候我改变一下磁场的强度，让磁场变强或者变弱一些，即便金属棒不动也会产生电流。

法拉第仔细总结了这些情况，他发现不管是金属棒运动切割磁感线产生电流，还是磁场强度变化产生电流，都可以用一个通用的方式来表达：只要闭合回路的磁通量发生了改变，就会产生电流。我们想想，磁通量是磁场强度B和面积a的乘积（B·a），我切割磁感线其实是相当于改变了磁感线通过回路的面积a，改变磁场强度就是改变了B。不管我是改变了a还是B，它们的乘积B·a（磁通量）肯定都是要改变的。

也就是说：只要通过曲面（我们可以把闭合回路当作一个曲面）的磁通量发生了改变，回路中就会产生电流，而且磁通量变化得越快，这个电流就越大。

到了这里，我们要表示通过一个曲面的磁通量应该已经轻车熟路了。磁通量是B·a，那么通过一个曲面S的磁通量给它套一个积分符号就行了。于是，通过曲面S磁通量可以写成下面这样：

细心的同学就会发现这个表达式跟我们高斯磁场定律里磁通量部分稍微有点不一样，高斯磁场定律里的积分符号（拉长的S）中间有一个圆圈，我们这里却没有。高斯磁场定律说“闭合曲面的磁通量恒为0”，那里的曲面是闭合曲面，所以有圆圈。而我们这里的曲面并不是闭合曲面（我们是把电路回路当成一个曲面，考虑通过这个回路的磁通量），也不能是闭合曲面。因为法拉第就是发现了“通过一个曲面的磁通量有变化就会产生电流”，如果这是闭合曲面，那根据高斯磁场定律它的磁通量恒为0，恒为0那就是没有变化，没变化按照法拉第的说法就没有电流，那还生什么电？

所以，我们要搞清楚，我们这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量，这个磁通量发生了改变就会产生电流，而且变化得越快产生的电流就越大。上面的式子给出的只是通过一个曲面S的磁通量，但是我们看到了最终决定电流大小的并不是通过曲面的磁通量的大小，而是磁通量变化的快慢。那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢？

我们先来看看我们是怎么衡量快慢的。比如身高，一个人在十二三岁的时候一年可以长10厘米，我们说他这时候长得快；到了十七八岁的时候可能一年就长1厘米，我们就说他长得慢。也就是说，我们衡量一个量（假设身高用y表示）变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt（比如一年，或者更小），看看这个量的变化dy是多少，如果这个量的变化很大我们就说它变化得很快，反之则变化得慢。

因此，我们可以用这个量的变化dy和给定的时间dt的比值dy/dt来衡量量这个量y变化的快慢。所以，我们现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了，那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：

这样，我们就把磁生电这个过程中磁的这部分说完了，那么电呢？一个闭合回路（曲面）的磁通量有变化就会产生电，那这种电要怎么描述？

11电场的环流

可能有人觉得磁通量的变化不是在回路里产生了电流么，那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？不行，我们的实验里之所以有电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路，如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了。

所以，电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱动导体中的自由电子定向移动，从而形成电流。因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场。

首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈。而且，你这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕，如下图：

如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样，这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这里环里流动一样。

这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流，电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分。闭合路径好说，你只有路径是闭合的，才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场。

电场的线积分是什么意思呢？因为我们发现这个感生电场是一个环状电场，它在每一个点的方向都不一样。但是，我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的，但是，如果在圆环里取一个非常小的段dl，电场E就可以看做是一个恒定的了，这时候E·dl就是有意义的了。然后把这个环上所有部分的E·dl都累加起来，也就是沿着这个圆环逐段把E·dl累加起来，这就是对电场求线积分。而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：

积分符号下面的C表示这是针对曲线进行积分，不同于我们前面的面积分（下标为S），积分符号中间的那个圆圈就表示这个是闭合曲线（电场形成的圆环）。如果大家已经熟悉了前面曲面通量的概念，我想这里要理解电场在曲线上的积分（即电场环流）并不难。

这个电场环流有什么物理意义呢？它就是我们常说电动势，也就是电场对沿着这条路径移动的单位电荷所做的功。我这里并不想就这个问题再做深入的讨论，大家只要直观的感觉一下就行了。你想想这个电场沿着这个回路推动电荷做功（电场沿着回路推着电荷走，就像一个人拿着鞭子抽磨磨的驴），这就是电场环流要传递的概念。而用这个概念来描述变化的磁产生的电是更加合适的，它既包含了感生电场的大小信息，也包含了方向信息。

12方程三：法拉第定律

所以，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：

方程右边的磁通量的变化率和和左边的感生电场环流我们上面都说了，还有一个需要说明的地方就是公式右边的这个负号。为什么磁通量的变化率前面会有个负号呢？

我们想想，法拉第定律说磁通量的变化会感生出一个电场出来，但是我们别忘了奥斯特的发现：电流是有磁效应的。也就是说，磁通量的变化会产生一个电场，这个电场它自己也会产生磁场，那么也就有磁通量。那么，你觉得这个感生电场产生的磁通量跟原来磁场的磁通量的变化会有什么关系？

假如原来的磁通量是增加的，那么这个增加的磁通量感生出来的电场产生的磁通量是跟原来方向相同还是相反？仔细想想你就会发现，答案必然是相反。如果原来的磁通量是增加的，你感生出来的电场产生的磁通量还跟它方向相同，这样不就让原来的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照这个逻辑就会感生出更强大的电场，产生更大的与原来方向相同的磁通量，然后又导致原来的磁通量增加得更快……

然后你会发现这个过程可以无限循环下去，永远没有尽头，这样慢慢感生出无限大的电场和磁通量，这肯定是不可能的。所以，为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的，我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然。这就是楞次定律的内容，中学的时候老师会编一些口诀让你记住它的内容，但是我想让你知道这是一个稳定系统自然而然的要求。楞次定律背后还有一些更深层次的原因，这里我们暂时只需要知道这是法拉第定律那个负号的体现就行了。

到这里，我们就把麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的内容讲完了，它刻画了变化的磁通量如何产生电场的过程。但是，我们上面也说了，我们这里的磁通量变化包含了两种情况：导体运动导致的磁通量变化和磁场变化导致的磁通量变化。这两种情况其实是不一样的，但是它们居然又可以用一个统一的公式来表达，这其实是非常不自然的，当时的人们也只是觉得这是一种巧合罢了，但是爱因斯坦却不认为这是一种巧合，而是大自然在向我们暗示什么，他最终从这里发现了狭义相对论，有兴趣的同学可以这里思考一下。

也因为这两种情况不一样，所以，法拉第定律还有另外一个版本：它把这两种情况做了一个区分，认为只有磁场变化导致的磁通量变化才是法拉第定律，前面导体运动导致的磁通量变化只是通量法则。所以我们有时候就会看到法拉第定律的另一个版本：

对比一下这两个法拉第定律，我们发现后面这个只是把那个变化率从原来的针对整个磁通量移到了只针对磁场强度B（因为B不是只跟时间t有关，还可以跟其它的量有关，所以我们这里必须使用对时间的偏导的符号∂B/∂t），也就是说它只考虑变化磁场导致的磁通量变化。这种形式跟我们后面要说的法拉第定律的微分形式对应得更好，这个后面大家会体会到。

磁生电的过程我们先讲这么多，最后我们来看看电生磁的情况。可能有些人会觉得我这个出场次序有点奇怪：明明是奥斯特先发现了电流的磁效应，大概十年后法拉第才发现了磁如何生电，为什么你却要先讲磁生电的法拉第定律，最后讲电生磁呢？

13安培环路定理

确实，是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的。

如上图，假设电流从下往上，那么它在周围就会产生这样一个环形的磁场。磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线，拇指指向电流的方向，那么你右手四指弯曲的方向就是磁场B的方向。

然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场的大小是怎样的。于是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理。其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律，安培环路定理就类似于高斯电场定律，因为在麦克斯韦方程组里，我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：

安培环路定理的左边跟法拉第定律的左边很相似，这是很显然的。因为法拉第定律说磁通量的变化会在它周围产生一个旋转闭合的电场，而电流的磁效应也是在电流的周围产生一个旋转闭合的磁场。在上面我们已经说了我们是用电场环流（也就是电场在闭合路径的线积分）来描述这个旋转闭合的电场，那我们这里一样使用磁场环流（磁场在闭合路径的线积分）来描述这种旋转闭合的磁场。

安培环路定理的右边就比较简单了，μ0是个常数（真空磁导率），不用管它。I通常是用来表示电流的，enc这个右标我们在高斯电场定律那里已经说过了，它是包含的意思。所以，右边这个带enc的电流I就表示被包含在闭合路径里的总电流，哪个闭合路径呢？那自然就是你左边积分符号中间那个圈圈表示的闭合路径了。

也就是说，安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈，那么这个磁场的环流（沿着这个圈的线积分）就等于这个圈里包含的电流总量乘以真空磁导率。

那么，这样就完了么？静电、静磁分别由两个高斯定律描述，磁生电由法拉第定律描述，电生磁就由安培环路定理描述？

不对，我们看看安培环路定理，虽然它确实描述了电生磁，但是它这里的电仅仅是电流（定理右边只有电流一项）。难道一定要有电流才会产生磁？电磁感应被发现的原因就是看到奥斯特发现了电流的磁效应，发现电能生磁，所以人们秉着对称性的原则，觉得既然电能够生磁，那么磁也一定能够生电。那么，继续秉着这种对称性，既然法拉第定律说“变化的磁通量能够产生电”，那么，我们实在有理由怀疑：变化的电通量是不是也能产生磁呢？

14方程四：安培-麦克斯韦定律

那么，为什么描述电生磁的安培环路定理里却只有电流产生磁，而没有变化的电通量产生磁这一项呢？难道当时的科学家们没意识到这种对称性么？当然不是，当时的科学家们也想从实验里去找到电通量变化产生磁场的证据，但是他们并没有找到。没有找到依然意味着有两种可能：不存在或者目前的实验精度还发现不了它。

如果你是当时的科学家，面对这种情况你会作何选择？如果你因为实验没有发现它就认为它不存在，这样未免太过保守。但是，如果你仅仅因为电磁之间的这样一种对称性（而且还不是非常对称，因为大自然里到处充满了独立的电荷，却没有单独的磁单极子）就断定“电通量的变化也一定会产生磁”这样未免太过草率。这种时候就是真正考验一个科学家能力和水平的时候了。

麦克斯韦选择了后者，也就是说麦克斯韦认为“变化的电通量也能产生磁”，但是他并不是随意做了一个二选一的选择，而是在他的概念模型里发现必须加入这样一项。而且，只有加上了这样一项，修正之后的安培环路定理才能跟高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律融洽相处，否则他们之间会产生矛盾（这个矛盾我们在后面的微分篇里再说）。麦克斯韦原来的模型太过复杂，我这里就不说了，这里我用一个很简单的例子告诉大家为什么必须要加入“变化的电通量也能产生磁”这一项。

在安培环路定理里，我们可以随意选一个曲面，然后所有穿过这个曲面的电流会在这个曲面的边界上形成一个环绕磁场，问题的关键就在这个曲面的选取上。按理说，只要你的这个曲面边界是一样的，那么曲面的其他部分就随便你选，因为安培环路定理坐标的磁场环流只是沿着曲面的边界的线积分而已，所以它只跟曲面边界有关。下面这个例子就会告诉你即便曲面边界一样，使用安培环路定理还是会做出相互矛盾的结果。

上图是一个包含电容器的简单电路。电容器顾名思义就是装电的容器，它可以容纳一定量的电荷。一开始电容器是空的，当我们把开关闭合的时候，电荷在电池的驱动下开始移动，移动到了电容器这里就走不动了（此路不通），然后电荷们就聚集在电容器里。因为电容器可以容纳一定量的电荷，所以，当电容器还没有被占满的时候，电荷是可以在电路里移动的，电荷的移动就表现为电流。

所以，我们会发现当我们在给电容器充电的时候，电路上是有电流的，但是电容器之间却没有电流。所以，如果我们选择上图的曲面，那么明显是有电流穿过这个曲面，但是，如果我们选择下面这个曲面呢（此处图片来自《麦克斯韦方程直观》，需要的可以后台回复“麦克斯韦方程组”）？

这个曲面的边界跟上图一样，但是它的底却托得很长，盖住了半块电容器。这是什么意思呢？因为我们知道电容器在充电的时候，电容器里面是没有电流的，所以，当我们把曲面选择成下面这个样子的时候，根本就没有电流穿过这个曲面。

也就是说，如果我选上面的曲面，有电流穿过曲面，按照安培环路定理，它是肯定会产生一个环绕磁场的。但是，如果我选择下面的曲面，就没有电流通过这个曲面，按照安培环路定理就不会产生环绕磁场。而安培环路定理只限定曲面的边界，并不管你曲面的其它地方，于是我们就看到这两个相同边界的曲面会得到完全不同的结论，这就只能说明：安培环路定理错了，或者至少它并不完善。

我们再来想一想，电容器在充电的时候电路中是有电流的，所以它周围应该是会产生磁场的。但是，当我们选择下面那个大口袋形的曲面的时候，并没有电流穿过这个曲面。那么，到底这个磁场是怎么来的呢？

我们再来仔细分析一下电容器充电的过程：电池驱使着电荷不断地向电容器聚集，电容器中间虽然没有电流，但是它两边聚集的电荷却越来越多。电荷越来越多的话，在电容器两个夹板之间的电场强度是不是也会越来越大？电场强度越来越大的话，有没有嗅到什么熟悉的味道？

没错，电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大。因此，我们可以看到虽然没有电流通过这个曲面，但是通过这个曲面的电通量却发生了改变。这样，我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里。因为这项工作是麦克斯韦完成的，所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律：

把它和安培环路定理对比一下，你就会发现它只是在在右边加了变化的电通量这一项，其它的都原封未动。E·a是电通量，套个面积分符号就表示通过曲面S的电通量，再加个d/dt就表示通过曲面S电通量变化的快慢。因为在讲法拉第定律的时候我们详细讲了通过曲面磁通量变化的快慢，这里只是把磁场换成了电场，其他都没变。

ε0是真空中的介电常数，把这个常数和电通量变化的快慢乘起来就会得到一个跟电流的单位相同的量，它就被称为位移电流，如下图：

所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说。其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一项，因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说。在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能跟其他的几条定律和谐相处了。而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，这最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至关重要。

因为你想想，预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”，这样变化的磁场和电场就能相互感生传向远方，从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场，这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？电场变了，磁通量变了，于是就产生了磁场。至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释，这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。

15麦克斯韦方程组

至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：

高斯电场定律说穿过闭合曲面的电通量正比于这个曲面包含的电荷量。

高斯磁场定律说穿过闭合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律说穿过曲面的磁通量的变化率等于感生电场的环流。

安培-麦克斯韦定律说穿过曲面的电通量的变化率和曲面包含的电流等于感生磁场的环流。

我们看到，在这里从始至终都占据着核心地位的概念就是通量。

如果一个曲面是闭合的，那么通过它的通量就是曲面里面某种东西的量度。因为自然界存在独立的电荷，所以高斯电场定律的右边就是电荷量的大小，因为我们还没有发现磁单极子，所以高斯磁场定律右边就是0。

如果一个曲面不是闭合的，那么它就无法包住什么，就不能成为某种荷的量度。但是，一个曲面如果不是闭合的，它就有边界，于是我们就可以看到这个非闭合曲面的通量变化会在它的边界感生出某种旋涡状的场，这种场可以用环流来描述。因而，我们就看到了：如果这个非闭合曲面的磁通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出电场，这就是法拉第定律；如果这个非闭合曲面的电通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出磁场，这就是安培-麦克斯韦定律的内容。

所以，当我们用闭合曲面和非闭合曲面的通量把这四个方程串起来的时候，你会发现麦克斯韦方程组还是很有头绪的，并不是那么杂乱无章。闭上眼睛，想象空间中到处飞来飞去的电场线、磁场线，它们有的从一个闭合曲面里飞出来，有的穿过一个闭合曲面，有的穿过一个普通的曲面然后在曲面的边界又产生了新的电场线或者磁场线。它们就像漫天飞舞的音符，而麦克斯韦方程组就是它们的指挥官。

16结语

有很多朋友以为麦克斯韦方程组就是麦克斯韦写的一组方程，其实不然。如我们所见，麦克斯韦方程组虽然有四个方程，但是其中有三个半（高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律、安培环路定理）是在麦克斯韦之前就已经有了的，真正是麦克斯韦加进去的只有安培-麦克斯韦定律里”电通量的变化产磁场”那一项。知道了这些，有些人可能就会觉得麦克斯韦好像没那么伟大了。

其实不然，在麦克斯韦之前，电磁学领域已经有非常多的实验定律，但是这些定律哪些是根本，哪些是表象？如何从这一堆定律中选出最核心的几个，然后建立一个完善自洽的模型解释一切电磁学现象？这原本就是极为困难的事情。更不用说麦克斯韦在没有任何实验证据的情况下，凭借自己天才的数学能力和物理直觉直接修改了安培环路定理，修正了几个定律之间的矛盾，然后还从中发现了电磁波。所以，丝毫没有必要因为麦克斯韦没有发现方程组的全部方程而觉得他不够伟大。

最后，如题所示，我这篇文章讲的只是麦克斯韦方程组的积分篇，方程都是用积分是形式写的。因为积分篇主要是从通量，从宏观的角度来描述电磁学，所以相对比较容易理解。有积分篇那就意味着还有麦克斯韦方程组的微分篇，微分篇的内容我下一篇文章再讲。我这篇文章主要参考了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel Fleisch），大家想对麦克斯韦方程组做进一步了解的可以看看这两本书，需要电子档的可以在后台回复“麦克斯韦方程组”。

最美的方程，愿你能懂她的美~