请问如何理解梯度，尤其它的几何意义。

# 这篇回答是“活动制度”的示范，不直接回答问题，而是描述解决这个问题的路径

# 第一部分，题主已知的知识。

# 由于@亥维赛 描述的不是很准确，我这里做了一些假设

1. 问题：对于一个可导的单变量实值函数，f : ℝ → ℝ， f 在 a 点处的梯度是什么？

回答：f在a点处的梯度就是f在p点处的导数值f'(a)

2. 问题：对于一个可导的多变量实值函数，f : ℝ^n → ℝ， f 在 a = (a_1, ... , a_n) 点处的梯度是什么？

回答：#由题主编辑

--- # 分割线是可以调整的，当下面的未知部分被题主习得后，应当移动到已知部分，

# 第二部分，题主未知的知识。

#分支 1

3. 分析学

3.1 问题：对于一个可导的多变量实向量值函数， a 点处的梯度还能定义成一个向量吗？

提示：在实值的情况下，我们转置了一个行矩阵（Jacobian）来得到一个向量，而向量值的情况下我们能做相同的事情吗？

回答：#由题主编辑

3.2 问题：对于一个可导的函数 f : H → ℝ，H 是一个无限维度希尔伯特空间， a 点处的梯度应该怎么定义呢？如果不是希尔伯特空间，只是巴拿赫空间呢？

提示：在无限维度，我们不在有矩阵，那取而代之的是什么呢？同时我们要怎么定义希尔伯特空间意义下的转置呢？如果是巴拿赫空间我们能定义转置吗？

回答：#由题主编辑

# 分支 2

4 微分几何学

4.1 问题：考虑定义域是一个流形 M （一般流形，没有定义黎曼度规），那流形上的一个光滑实函数 f : M → ℝ（或者说标量场），a 点处的梯度还能定义成一个（切）向量吗？

提示：#懒得写了，等有人做到这里再说，其他人也能写

回答：#由题主编辑

4.2 问题：类似3.1，如果 f 是两个一般流形间的光滑函数，我们能定义梯度吗？

回答：#由题主编辑

4.3 问题：现在考虑黎曼流形，请利用音乐同构来充当转置的功能，以此来定义一个梯度。

提示：这个的Jacobian是什么？

回答：#由题主编辑

对于一个二元函数z=f(x,y)，它的梯度计算公式就是grad f=▽f,就知道这么多了。