从早上起床开始，我们的大脑就需要不停的决策，穿什么衣服，配什么裤子。有一天，无聊的数学家开始思考，到底我们是在多少情况中选择了一种呢？

Part1两种原理

假想一下，准备出门的你有三件衣服，两条裤子，那么你出门前最多有多少种搭配方式呢？

加法原理

首先，先找一条裤子，有几种情况？你可能脱口而出，两种。但是，我们不妨先慢一点，想一想这个数字你是怎么得到的。其实，我们的思考过程应该是这样的，我们可以穿第一条或第二条。

接下来再问你选择衣服的可能，你一定会毫不费力地说出三这个数字。

这便是加法原理，它告诉我们如果解决一个问题有若干种方法，那么我们只需要把每种方法的方案数相加。

乘法原理

衣服有三种可能，裤子有两种可能。你能知道一共多少种可能吗？

先别着急，仔细想一想，衣服的三种可能是对应每条裤子有三种可能。所以按照刚才我们得出的结论，所有的可能应该是种。现在，我们用乘法来简化这个加法，即我们把第一次得到的2与第二次得到的3相乘即可得到结果。

这便是乘法原理，它告诉我们当解决一个问题需要分步时，就要把每步的方案数相乘。

总结一下，如果我们完成一个问题有若干步，我们就要把每步的方案数乘起来。而每步的方案数，我们是把所有可能相加得到的。

Part2排列问题

我们接下来研究一个复杂一点的问题：排序问题。或者用数学家的话说：排列问题。

全排列

我们先来看一个简单一点的问题：个不同的人站成一排，有多少种站法。

用我们刚才得到的两个原理来思考。这个问题有步，即排第一个人，第二个人第个人。排第一个人有种选择，排第二个人有种选择，以此类推，排第个人就只有一种可能。所以一共应该有种可能。

如果我们引入一个新的运算：的阶乘=。我们就可以把这个问题的答案写作。

一般的排列问题

我们来进一步思考，如果有个人，我们要从中挑出个人排成一列，有多少种排法？

仿照刚才的过程，我们不难想到这个问题有步，即排第一个人，第二个人第个人。排第一个人有种选择，排第二个人有种选择。以此类推，排第个人就有种可能，这个结果可能有些难想，这里我交给大家一种方法，叫难题不会，做简单的，通过观察我们发现，排第一个人有种选择，排第二个人有种选择，每个人的序号加上对应的选择数应该等于，所以第个人就有种可能。

综上，一共应该有种可能。应用刚才的符号可以简写为

最后，我们将从个元素种选种再排序这类问题总结成一个公式

特别地，全排列公式

Part3组合问题

推导完一般情况的排列数公式，我们不禁想问：如果我们不需要知道顺序，只需要知道个元素种选个应该有多少种选法？

想解决这个问题我们不妨重新思考一下全排列公式。从个元素种选种再排序这个描述中就有一个分步过程，其中前半段正是我们要的结果，换言之，可以写成组合数公式与种元素的全排列相乘的结果，即

还记得我开头说的话吗？这些都是“无聊”的数学家搞出来的东西。是啊，这些东西有什么用呢？但正是这种无聊，为更美丽的风景铺平了道路。