一道数列极限的例题

数列极限的定义是

对于任意正数（无论它多小），总可以找到序号，使得当时，恒成立。这时称数列的极限为。记作

要点

直觉上看，极限是无限接近的意思，换言之，就是要多接近有多接近。而这个定义就是给这句话翻译成了数学语言。

首先要明白一点，这个定义只能证明极限，而不能求解。这意味着我们需要先猜出一个，再证明。

假设我们已经猜出一个，我们保证在序号变大时的值越来越接近，并且满足要多接近有多接近，我们需要用（表示和的距离）来衡量。

要多小有多小就是在一定条件下可以小于任意给定的正常数。

那么这个一定条件是什么呢？由于我们要找的是序号趋近无穷大时的极限，我们就应该让序号在比一个数大的情况下都能满足恒成立。

也就是说我们每给出一个都得找到一个，而我们怎么才能使任给的一个都能找到呢？是无穷无尽的，穷举是不可能的，我们应该考虑能不能找到一个关于的式子，每出现一个时，代入便可找到。

接下来我通过一道例题来说明这些要点。

例题

求证：数列极限是0

首先，求出，即

想让它小于任给的正数，就是先解一下这个方程

（注意此时已给定）
解出来的可能不是一个整数，我们只需要它的整数部分（用进一法取），比如1.12我们取2作为的值。由于这个数列是递减的，所以这个一定是满足时，恒成立。

这样我们就得到了给定一个求的方法，这样就满足了对所有都找到一个。

即证。