流形
作者｜胡竭末
如无特别声明，本篇所取拓扑都为通常拓扑，即大家已经熟知的开区间和闭区间
笛卡尔将坐标的概念引入几何后大大方便和拓展了我们对几何的研究。
例如，对于一个圆，我们取坐标，这就描述了一个单位圆，利用这个表达式可以很方便地计算一些圆的性质。
但是如果把这个圆画出来，我们可能会感觉到有一点困惑，看上去圆似乎是“一条线”，为什么我们却需要两个坐标来描述呢？
或许你想到了用角度便可减少坐标（参数）到一个，可为了保证映射是一一对应的，你必须取的区间为，这不是一个好的选择，因为和这两点周边的性质是不同的，所以会给我们分析带来麻烦。
那怎么办呢？一个最简单的办法就是把这个圆分成多块，使得每一块可以由一个参数描述，并且这个参数的取值在的开区间上。然而这样的操作听上去这似乎割裂了整个圆，我们用这样的方式描述的圆还是原来那个吗？
事实上在很多时候，我们只关心一个点附近领域的性质，而不用管整个集合（上面这个例子中就是整个圆）的情况，因此这样的操作是可行的。
不但如此，如果我们要求不同区间上的映射满足一些条件，那么它甚至可以反映一些整体性质。
经历了上述并不简单的叙述，你可能会回到最初的疑问，我们是否真的需要将圆只用一个参数描述？我将它放到二维平面岂不是又直观又简洁？
的确，如果花费大力气改写我们已经很熟悉的语言，目的只是为了省点笔墨草稿，这大可不必，然而上述思考的过程中实际涉及了一个很深邃的问题，那就是我们可否在一个几何“内部”探索它本身？
让我来把话说得更清楚些吧。当你用到时，实际上你不但需要这个圆，你还需要整个平面（否则你没办法说这个方程代表了什么意思），然而当你用某段单参数区间来代指那个圆（的某一段）时，我们并不需要除了圆以外的东西，换句话说我们在内蕴的探究这个圆。
这不仅仅是数学思想上的一大进步，更是物理中的必然需要，因为我们生活在一个四维时空中，我们没有办法跳出这个时空到某个五维的空间中来观测我们自己的时空，所以我们必须寻找内蕴量来研究。
一、流形的定义
有了以上长长的铺垫，我们来看看具体该怎么构建符合要求的理论。
我们最熟悉的当然是维欧式空间，对于维欧式空间我们可以由一对数组来描述，我们要推广以上的概念，使得一个空间的局域部分长得像一个欧式空间，我们把这样的空间称为流形(manifold)。
如何来描述这种相似呢？
在第一章中我们介绍了拓扑的概念，拓扑给出了开集，利用开集我们可以定义连续，直观上我们马上就能想到连续和邻近领域是密切相关的，事实上你的确可以把拓扑看成是一种描述集合内各点“邻近关系”的结构，而同胚映射就是不改变这种“邻近关系”的映射。因此我们可以使用拓扑这个概念来描述一个空间局部类似于欧式空间。
在正式给出流形定义前，我们先定义什么叫豪斯多夫空间(Hausdorff 空间)
给定拓扑空间，如果任意不同的两点，总可以被两个不相交的开集分别包含，那么我们称这样的拓扑空间为豪斯多夫空间。
这种两点被不相交的开集覆盖的性质涉及到了拓扑空间的一个基本性质——分离性，由于分离性只依赖于开集的性质，所以它在同胚映射下不变，是一个拓扑不变量，对其感兴趣的读者可以自行翻阅拓扑教科书。
好，接下来让我们给出流形的严格定义
设是一个非空的豪斯多夫空间，并且满足第二可数性。如果对于每一点，都存在点的开集（开领域），使得同胚于的一个开集，同胚映射，那么我们称为一个维拓扑流形。
上述定义中的称为一张图(chart)或坐标卡，如果图的一个集合覆盖了，即，那么我们称这个集合为一个图册(atlas)。
以上定义中只是要求局部同胚于欧式空间，但此时我们仍然只有拓扑这一个结构，所以我们能用来使用的研究工具还是很少，接下来我们将引入一个极其重要的结构——微分结构。
考虑中的两个图，如果，那么中的点就有两套坐标，考虑这样的复合映射
或者
此时这两个映射就成了的映射，因此我们可以谈论这两个映射的光滑性。如果这两个映射都是的，那么我们称这两个图相关。
有了以上概念，我们可以定义微分结构
设是一个拓扑流形，如果满足以下三点
1.存在一个图册
2.图册中任意两个图是相关的
3.这个图册是极大的；也就是说，任何相关的图都已经被包含在这个图册里
这样我们就说给定了拓扑流形一个微分结构，我们把这样的流形称为微分流形，特别的，如果是，我们称其为光滑流形。
有了微分结构后我们就可以对流形进行微分，从而更方便的研究它。
技术上来说就是我们可以给流形上的点一个坐标，并且对这个坐标进行求导运算，之后如无特别声明，我们提到流形时都指微分流形，而且通常是光滑流形。
物理上我们通常是取在具体的坐标下进行操作的，我们以后的篇章大多也是如此，但重要的是当我们操作某个对象时，我们要很清楚我操作的对象到底是什么。
二、流形间的映射
两个流形分别为维流形，如果存在映射，对于点，两个流形上的坐标卡和，有复合映射
如果是光滑的，那么我们称在点是光滑的。如果它在每点都光滑，那么就在两个流形间定义了一个光滑映射。
在拓扑中我们知道了如果同胚那么拓扑性质就相同，现在我们多了一个微分结构，我们同样可以讨论怎样的情况下两个微分流形是相同的。
如果两个流形维数相同，而且存在一一映射，并且和它的逆映射是光滑的，那么我们称这是一个微分同胚映射
如果两个流形微分同胚，那么我们就没有办法在微分流形的角度区分它。
现在回过头去再看我们给出的光滑流形的定义，这个定义天然的给出了流形局部和欧式空间微分同胚（尽管我们在给出定义时还没有微分同胚的概念），也正因如此，我们可以用欧式空间的坐标来表征流形。
物理上通常要找不依赖于人为选择的量，因此物理量不应该取决于我们人为选择的坐标系，所以如果一个物理量背后的数学结构是流形的话，那么不同坐标系间的变换就应该是一个微分同胚映射。
三、小结
尽管我们花了不小的篇幅来把流形的概念严格化，但我们回过头会发现，去除冗长的定义，流形的思想是简单直观的。
也正因如此，流形的概念才会广泛地存在于各种物理理论中。接下来几章我们将给出流形上的一些基本的研究工具，如切向量，余切向量等。
拓扑空间如果有一个可数拓扑基，那么我们称其为第二可数的。之所以有这么个要求是因为豪斯多夫空间和第二可数性可以给出一个仿紧的性质，这个性质在我们定义单位分解，特别是流形上的积分时涉及到一个求和有意义的问题。不过我觉得这部分数学的构造性太强，离物理应用比较远，所以不打算详细说，我们会在讲流形积分时再浅尝辄止地提及，感兴趣的读者可以自行翻阅数学教科书。
