拓扑
作者｜胡竭末
拓扑是数学中非常重要的概念和工具，某种意义上来说拓扑之于现代数学就仿佛量子力学之于现代物理。我们会在本篇中给出拓扑最基本的概念，不过我们暂时并不会延伸这个话题，而仅仅只是为了给出接下来的篇章所需的最少的前置内容和概念。
一、拓扑的定义
设集合，集合的所有子集记为，称为幂集(power set)。我们挑选幂集中的某个子集，如果满足以下三个条件
空集和集合属于。
中有限个元素取交后的集合仍属于。
中任意数量元素取并后的集合仍属于。
则我们称给定了集合一个拓扑（结构），集合中的元素称为开集(open set)。
习惯上我们会把一个给定拓扑(topology)的集合称为拓扑空间(topological space)。
开集的补集称为闭集(closed set)，但是注意一个拓扑空间里的集合可以既是开集又是闭集。事实上由开集和闭集的定义很容易看出来，任意拓扑空间里的空集和空间本身（也就上述定义里的）必然是既开又闭的。
选取不同的子集，就是定义了不同的拓扑结构。
例如，我们选取幂集（也就是说我们定义的所有子集都是开集），则我们就定义了一个拓扑结构，我们把这种拓扑叫做离散拓扑。
可以看出，离散拓扑空间中所有的集合都是既开又闭的。
当然我们也可以定义和为开集，其他的子集都不是。很容易验证，这样的选取也满足以上拓扑定义的规则，我们把选取U这样的拓扑称为连续拓扑。
你可以验证一下，通常意义上的开区间也满足拓扑的定义，所以这也是一种拓扑结构。
对于物理专业的学生来说，拓扑这个概念初接触时是非常抽象的，一个接受新概念的非常好的（如果不是最好的）方法是看一些例子。但很遗憾，由于拓扑实在过于基础，我们很难在现在直接给出一些帮助理解的例子。我觉得最好的方法是先接受它，然后继续学下去，慢慢的会习惯这种语言的。
二、同胚和连续映射
有了拓扑最基本的概念，我们来考察两个拓扑之间的关系即映射。
对于拓扑而言，重要的是它们的结构，也就是我们如何定义开集的。
那么很自然的，如果两个拓扑结构是“相同的”，我们就不需要重复处理，知道了一个就知道了所有和它“相同的”拓扑是怎么样的了。
为了严格描述这种相同，我们做如下定义
设有两个拓扑空间和，如果存在一个一一映射，将任意中的开集映到中的开集，将任意中的开集映到中的开集，那么我们称拓扑空间和是同胚的(homeomorphic)，这样的映射称为同胚映射(homeomorphism)
同胚即代表两者在拓扑上不可区分，因此一些仅和拓扑有关的量在同胚映射下是不变的，但是如果一个量还依赖于其他结构，那么通常同胚映射不能保证这些量不变。
直到现在为止我们只是阐述了基本的拓扑是什么，但还没有拿它来做任何事情，接下来我们将使用拓扑来重新定义一个我们非常熟悉的东西——连续映射。
设有两个拓扑空间和，如果一个映射，对于中的任意开集，映射的拉回都是中开集，那么我们称这样的映射为连续映射
所谓的拉回就是映射在中的原像，所以连续映射就是保证开集的原像还是开集的映射。
读者们可以回忆一下高数里的连续的定义，本质上和我们用拓扑语言定义的连续是一样的，既然我们已经有了高数中的连续，那为什么又要用拓扑来重新定义连续这个概念呢？
一个重要的理由是从拓扑出发，我们能更方便的把连续这个概念推广到其他地方而不是局限在函数里。
三、拓扑的基
直接定义拓扑有的时候很复杂，因为直接定义需要你明确开集到底长成什么样，所以为了在一些情况下更方便的得到拓扑结构，我们定义拓扑的基
如果有一个拓扑，它的开集可以被一族子集里的元素取并得到，那么我们称这族子集为拓扑的基。
一个拓扑可以有不同的基，我不打算在这里展开拓扑基的相关内容，感兴趣的读者可以翻阅点集拓扑相关的书。
四、小节
我们已经例举了拓扑最基本的一点概念，但是我必须在这里停下了。接下来的篇章我们将介绍流形和流形上的一些概念，从实用的角度，这些内容将会对物理有更直接的影响和应用。
