物理弹力

人踢足球，弹力对足球做不做功？

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问：人踢足球，弹力存在时认为球没有位移；等球有位移时，弹力又不存在了。那么弹力到底有没有做功？足球的动能哪来的？

问题里说的位移明显是指足球被踢出去之后所导致的位置变化，至于足球还没与脚脱离接触的过程里有没有位移呢？

踢足球与这个类似（图片侵删）

由于踢球过程里，脚和球接触的时间太短了，所以我们通常认为在这个极短的过程里，足球是没有位移的。但是上述慢镜头显示，网球在与球拍接触的短暂时间里发生了明显的形变。踢球时，足球也会发生同样的现象。

显然这个形变就是脚对足球施加的弹力所造成的，而足球发生形变说明其与脚接触的部分在弹力作用下有位移呀！正是这个极短的过程，弹力对足球做了功，从而使得足球的动能发生了变化。

问题里认为弹力没有做功，是基于足球没有位移这个特点下的结论。而从上面的动图里可以看到，即使我们认为在弹力存在的极短时间里，球的位置没有发生变化，但是球的形状发生了变化。这隐含着一个结论：此过程中，高中阶段习以为常的质点模型失效了！

在这个极短的时间里，如果你还默认球是质点，你确实会得出如下的结论：存在弹力的时候，球没有位移；弹力不存在的时候，球有位移。悖论就是：球的动能为啥有变化呢？

如此一来，这个细节就说明了两个问题：

（1）我们依然可以根据功的定义下结论：弹力一定做了功，功的定义没毛病。

（2）在具体的问题里，一个假定的模型失效了，就会得出一个矛盾的结论。

接下来就该考虑如何计算弹力做的功了。根据功的定义，知道弹力、知道球的形变量，就可以算出弹力做的功。不过这条路是不切实际的。在此个过程里，弹力不是恒力，形变也不一定是均匀的，形变量也不知道，所以我们没法根据功的定义来计算弹力所做的功。

所以我们才借助动能定理来进行计算。在击球的这个极短过程里，只有弹力对球做了功，所以弹力做功的值就等于击球前后球的动能变化。

问题说到这里本该结束了，但是出题人岂肯善罢甘休？Ta不得显摆一下自己的水平？Ta不得为了同学们好而更深入地考察你们？于是，更骚的问题就来了。

刚才不是说弹力不恒定么？刚才不是说形变量不知道么？

咱现在就改用不计形变的木块（高中阶段的常见客户）；还要啥球拍？子弹岂不是更香？

这么一来，鼎鼎大名的子弹打木块问题就跃然纸上了。

子弹在木块里所受的阻力可以近似当做恒力处理，子弹打进木块的深度可以从上图中直接求出来（如果子弹打穿了木块，显然打击深度就是木块的长度啦）。那么子弹在打击木块的过程里，“打击力”对木块做的功就可以直接根据功的定义算出来啦。

至于方程怎么写，可以求出哪些结果，教辅是个好东西，自己去看。

美中不足的是，子弹打击木块和球拍击球类似，这个过程太短暂了，无法直接用肉眼看得那么仔细。不要觉得遗憾，咱可以来个慢镜头呀——滑块配木板了解一下。

图中的绿木块不就是子弹的角色么？

显然，这类问题的求解就和子弹打木块完全相同啦。你要是觉得无聊，完全可以自己调整难度啊，比如给木板加个力，比如再多弄几个木块或木板...

物理的简洁在这些问题里体现得淋漓尽致了。看似不同的问题里却隐藏着相同的规律与分析方法，什么奇技淫巧在这里都会显得苍白无力。对物理图景的深刻认识才是打开物理大门的钥匙，你值得拥有！

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2022-05-29

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