为什么我们的宏观世界是三维的（附答疑）
作者| yubr
编辑| Trader Joe's
经验表明，我们所生活的这个宏观世界是一维时间+三维空间所组成的四维时空的有机整体，这一点是狭义相对论的基本观点，也已经被无数的实验所验证（例如，LHC上每时每刻都在以无数微观粒子“尸骨”来向世人宣示着狭义相对论无以伦比的准确性）。
这里，我主要想简单地从经典力学的角度（因为我们现在只讨论宏观问题，用经典力学就够了）证明一下组成我们宏观世界的空间维数只能是3，而不能是 4,5,6,… 等更高维度。
经典力学的一般性分析
我们考虑两体组成的有心力系统（例如，地球+太阳，或者月球+地球）。
我们知道两体运动可以等效为质心平动和两体的相对运动，而质心的平动是平凡的，可以不看。
其中 是两体的约化质量， 是两体之间的引力势。因为拉式量不显含有 ，所以对应循环坐标 的正则动量 一定守恒
再做一个坐标平移 ，得到
插曲： 维空间的万有引力
稳定性：几维空间才合适？
一个更简单的方法
如果 ，那么 ，即总能量的平均值是零或正数，此时体系都是不稳定的。 如果 ，则动能的平均值是零，这是一个死气沉沉的世界。 如果 ，动能和势能的平均值将同号，但是一个物理系统的动能平均值总是正的，所以总能量的平均值也是正数，这样的系统是不稳定的。
额外维？
附注
微扰下稳定的意思是说，如果我们对正在太阳的椭圆轨道上运行的地球做一个径向的小扰动，那么地球将在平衡位置附近来回振荡着做简谐振动；反之如果体系在微扰下不稳定，那么你对着地球沿径向方向吹一口气，地球就直接飞到十万八千里以外去了。一个很好的类比是，想象一个静止在山顶的球（此时势能处于极大值，势能的二阶导数小于零）和一个静止在谷底的球（此时势能处于极小值，势能的二阶导数大于零），两个球都处在平衡位置（因为此时合力为零，球静止），但是轻轻碰一下后，山顶的球会直接滚下来，而谷底的球只会在谷底附近来回振荡，因此前者是在微扰下不稳定的，后者是在微扰下稳定的。 接下来这一段是比较严格的推导，如果你不想看，也可以直接通过能量守恒定性地得到结论。在三维空间，面积正比于距离的平方，所以为了保证能量守恒，引力场强必须按照反比于距离平方的规律衰减；而在 维空间，面积是正比于距离的 次方，所以为了保证能量守恒，引力场强必须按反比于距离的 次方的规律衰减。 Gamma函数的定义为 ，从定义出发，可以推出Gamma函数的几个有用的性质，例如 ，， 等。 关于Virial theorem的证明，可以参看一般的经典力学的教科书，例如Goldstein的Classical Mechanics。 关于这一点，可以考察一个氢原子体系。我们知道氢原子中，电子被原子核束缚在核内运动，其总能量是负的，这意味着我们需要从外界输入一定的能量给电子才能将其电离出原子。如果电子的总能量是零，这意味着我们只要轻轻地碰一下电子，它就可以挣脱原子核的束缚；如果电子的总能量为正，它直接就跑到无穷远去了，根本不可能被原子核束缚。不管是以上哪种情况，都没办法形成稳定存在的原子。
答复读者集中的疑虑
接下来我们通过一些补充说明来回答大家几处集中的疑虑。
（1）我们是不是在假设空间是三维的前提下进行的推导，然后才得到了空间是三维的结论？这样岂不是循环论证？
原文的基本逻辑是：我们先假设宏观世界的空间是 维的（注意 是一个任意的正整数，不一定是3），然后从经典力学的基本原理出发进行推导。最后我们发现当且仅当 的时候力学系统才能在微扰下稳定，换句话说才能形成我们今天稳定的宇宙，从而我们得出结论——我们的宏观世界只能是三维的。
所以我们并没有在一开始就假设空间是三维的，宏观世界的空间是三维的，这是推论而不是前提。
（2）为什么只使用经典力学？
因为我们这里只讨论宏观世界的空间维度，对于宏观世界，使用经典力学就足够了，不需要使用量子理论。我们并没有涉及微观世界的维度。
事实上，正如原文最后一段所说，在微观世界，理论上是允许超过三维的额外维存在的，只是因为探测到这些额外维所需要的能量远远高于我们宏观世界的能标，所以我们在日常生活中看不到这些额外维，它们也不会影响宏观世界的力学系统的稳定性。
（3）经典力学的原理在高维空间是否还成立？
大家有这样的疑虑主要是大家都比较熟悉三维空间的牛顿矢量力学，潜意识里认为谈到经典力学，就一定是 三维空间中的力学。
事实上并不是如此。我们在一开始就采用了分析力学的范式，分析力学最重要的一点是引入了广义坐标的概念，从而使得对力学系统的分析可以推广到任意自由度，任意维，而不必局限在三维。
（4）如何理解 维空间引力场强随距离的 次方衰减？
我们考虑一个确定的引力场源，假设有两个半径分别为 和 () 的同心球面将其包围。
因为这两个球面内部的引力场源是相同的，所以穿过这两个球面的引力场的通量（通量等于场强 和面积 的乘积）应该相等，即 。
而在三维空间，面积是正比于距离平方的，，。所以，为了使得穿过这两个球面的通量相等，引力场强必须按照反比于距离平方的规律衰减，即 。
类似地，在 维空间，因为面积是正比于距离的 次方的，所以为了保证通量守恒，引力场强必须按反比于距离的 次方的规律衰减。（注：引力场的通量守恒在三维空间是显然成立的，但是把通量守恒推广到高维其实是一个优美的假定，这点特别感谢我学弟 @苏雨山 指出。）
（5）关于低维情况
原文中提到对于低维情况（），已经从生物学角度禁戒掉了。这样的论证确实不够严谨，这里我们补上低维空间的严格证明。
在原文中我们已经证明了， 维空间的引力势能为
其中
对于 或 ，，这使得引力势成了排斥势，显然这和引力只有吸引势这一事实矛盾。
但是对于 呢？细心的读者会发现，在 的时候，上面 的表达式的分母等于零，这使得上面的表达式对于二维情况不再适用。
是的，你没有猜错！
二维是比较特殊的维度，在二维会有很多不同于其他维度的神奇的现象。
首先我们注意到，为了保证能量守恒，二维空间的引力场必须和距离的1次方成反比
其中 是无关紧要的正常数 （更加严格的计算给出 ），负号表明引力是吸引的。
因为引力势是引力场对距离的积分，大家可以想想二维空间下引力势对距离的函数是什么样的？
我才不会偷偷告诉你其实就是对数函数。怎么样，是不是够奇葩？在所有的维度中，二维是唯一一个其引力势对距离的依赖关系不是幂函数的，所以二维很特殊。
但是特殊归特殊，我们照样可以证明宏观世界下二维空间的力学系统不稳定。
考虑二维空间中，一个质点绕着引力源作匀速圆周运动的系统，根据引力提供向心力我们有
从而得到二维空间的轨道速度
这意味着二维空间的轨道速度是一个和轨道半径没有关系的常数！
这个后果是灾难性的：在二维空间的轨道上作圆周运动的天体，在受到微小的扰动后，并不会回到原来的位置，而是会立刻以新的半径运动！这同样使得稳定的力学系统不复存在，因此，二维也被排除了。
我们这里再次强调，以上论证的只是宏观世界的空间维度，并不涉及微观。
在不少凝聚态系统中，确实存在低维系统（例如，石墨烯就是典型二维材料）。
但需要注意的是，这里的低维只是因为材料的其他维度的尺度相对于剩下的维度来说太小，从而可以忽略不计，所以我们将电子在其中的运动近似当作在低维空间中的运动来处理而已。
但严格来说，低维材料仍然是三维的。（例如，石墨烯的厚度只有一层原子，所以电子在石墨烯中的运动完全可以忽略在厚度这个维度上的运动而只需要考虑其在那层原子所铺开的那个二维平面上的运动。但是，即便是一层原子厚那也是有厚度的，其厚度方向的尺度并不严格为零，所以石墨烯严格来说仍然是三维的。）
