中学生能理解最小作用量原理吗？

二、并不可怕的微积分

有关微积分的思想，大家可以去阅读我之前写的两篇文章。这里将围绕着微积分的定义引出后面要用到的一些工具。

说到微分就必须先提到导数。无论是某些物理量的定义——比如速度、加速度等，还是几何中为了衡量图线的倾斜程度，最终殊途同归到一个词——变化率，也就是一个量的变化值比上另一个量的变化值。

以形象直观的图形来说，要反映图中倾斜直线的倾斜程度，显然是图中的角度（0到90度范围内）越大，直线就越陡峭。而角度的大小可以由其正切值来反映：，也称为直线的斜率。

从图中可以发现，对于直线来说，无论哪一段的倾斜程度都是一样的。这很好理解，如果物体始终做匀速直线运动，无论用哪一段的位移除以对应的时间，求出来的速度都是一样的。但是相比直线，曲线是更常见的，变速运动也是更常见的。如此一来，曲线上不同部位的倾斜程度就不一样了。所以我们就会更关心曲线上每处的倾斜情况如何。

那么问题就来了，过曲线上一点可以画出无数条直线，哪条直线才是反映该处的倾斜程度呢？

从直线斜率的计算可以看到，要出现和，需要在直线上取两个点才行。所以同样的做法在曲线上来一遍即可，由此得到的直线称为割线。

但割线的斜率并不是我们需要的，因为取不同的点就会得到不同的割线，难不成曲线在点处的斜率会如此调皮？所以，既要利用点，又要使得计算结果为曲线在点处的斜率，只能让点无限靠近点，使其两者相差无穷小！关于这个幽灵，可以去看我之前的文章。

这么一来，我们就发现割线变成了曲线在点处的切线，而曲线在点处的斜率就由该切线的斜率来反映。此时，切线的斜率就得写成。由于曲线都有对应的函数来表示的，而数学里又习惯把函数写成，所以有：

从函数的角度来说，得给这个比值重新起个名字——函数的导数，记为：

别怕哈，这一坨表达式看起来好吓人，其实很简单——因为函数的导数就是该函数曲线在某点处的切线斜率。所以，只要你知道啥是斜率，看懂这个表达式肯定不在话下。

不过咱要啰嗦几句，记作非常简洁，但是容易忘记是对自变量求导数。所以为了强调是对求导，就弄了另外一个符号：

前面的这一块东西作用在其身上就表示对求导。有时候为了书写方便，就写成：

请注意，不是与相除哟！捋清这一点至关重要，不然你看到后面的公式肯定会糊。

导数说完了就可以说微分了。还是看图中的切线，其与竖直虚线相交于点。其中段的距离可以表示为：

由于本身就是无穷小了，即也是无穷小，那么与的差会更小，将其称为的高阶无穷小。你可以把高阶无穷小想象成是无穷小的儿子，既然老子都是小不点，儿子就更不用谈了。

咱们就是把称为函数在处的微分，记为。即：

由于自变量对自身的导数等于1，也就是，所以：

这么一来，函数在处的微分就可以表示为：

或者记为：

这和刚才导数的符号不同，这里是指函数的微分与自变量的微分的比值，也称为微商。

说完了这两个重要的概念后，就能根据定义得到几个重要的结论。这些结论在数学教材里都有严格的证明（都很简单明了），大伙自己去看书也挺香的。悦理君就当给大家留个练习哈。

常数的导数为零，记为

两个函数相加减的结果，其导数等于每个函数的导数相加减，即：

两个函数相乘的结果，其导数为：

这个结果记起来稍微要费点脑子：你可以想象自己一个人带着两个娃，现在得给娃脱衣睡觉，你是不是得挨个来？先给第一个娃脱衣服，让第二个娃一边呆着（）；然后是第一个娃看着，给第二个娃脱衣服（）。两个娃的衣服都脱完了才算完事，即。

至于两个函数相除的导数就不写了，后面的物理问题里暂时用不上。毕竟这篇文章的主角是物理，数学工具够用就行。

另外，还有一个重要的结论就是复合函数的导数。复合函数你可以想象成是套娃，函数的变量只是个中间角色，它是自变量x的函数，即：

所以函数应该写成，其自变量是。那么求的导数是指函数对自变量求导数，其结果为：

详细严格的证明过程请自行阅读数学教材。这个等式的识记也好理解，相当于你的娃现在穿了两件衣服，你是不是得一件一件的脱？而且是先脱外层的衣服，再脱里面的衣服，两件都脱完了才算完事，即。这就是复合函数求导的链式法则。

以上是关于求导的结论，而求导数的基本法则也就是求微分的基本法则，只是形式上稍微变一变就可以了。比如：

看到这里，是不是觉得微分理解起来也不难呀？本来嘛，当你理顺了概念的来龙去脉搞，由它衍生的结论也就手到擒来了。大家往后继续看就会发现，这种学习方式被悦理君体现得淋漓尽致。

回来继续唠嗑微分。前面我是用只含一个自变量的一元函数带领大伙叩开了微分的大门，但是更多的函数所含有的自变量不止一个，这样的函数被称为多元函数。它们的微分会不会有啥不同呢？

咱们就看看最简单的多元函数，即函数含有两个自变量和，记为。多元函数的导数定义完全类似一元函数，不过区别就在于函数的变化量可以由两个自变量中的任意一个变化所引起，所以函数在某点处的导数就有多个，其数量取决与自变量的个数。

如果函数的变化是由的变化所引起的，由此得到的导数称为函数关于的偏导数，偏心嘛，只管不管，记为：

其结果为：

同理，如果函数的变化是由的变化所引起的，由此得到的导数称为函数关于的偏导数，即为：

其结果为：

有了多元函数的偏导数概念，类似于一元函数的微分，则多元函数的微分就是：

说完了微分说就该说一说积分了，从如今的“微积分”这个名称上就能看出它俩可是一对形影不离的好基友。不过要想发现它俩的基情，着实要下一番功夫。

积分起源于对封闭图形的面积计算。你肯定能很快写出矩形、三角形或者梯形的面积计算公式，但是面对一般的封闭图形时就无能为力了。不过没关系，咱可以用那些规则图形的面积来逼近这个不规则图形的面积。这就好比铺地砖一样，总能用规则的地砖近似地铺满一块区域，至于边边角角可以用更小的规则地砖将其覆盖，直到最后看不出什么缝隙。

那这种朴素的思想如何用数学语言来描述呢？假设有一条函数曲线，在变量取值于的范围内与坐标轴围成了一个曲边梯形。当我们要计算这个图形的面积时，先把区间分割份，这样的话每一份就对应一个小区间，而每一个小区间就对应一个小矩形条，然后把这个小矩形条（相当于规则的地砖）的面积求和去替代曲边梯形的面积。

至于所有矩形条的面积和能不能代替曲边梯形的面积、以及代替的误差有多大，这有严谨的数学论证，咱就省略几千字了哈，数学教材可是等着你们去宠幸呢。显然此处只关注能精确替代的情形，即把区间分割成无穷多份，使得无穷多个小矩形条的面积和存在一个确定不变的极限值，那么这个值就是这个曲边梯形的面积，记作：

这个式子称为被积函数在区间的定积分，和分别称为定积分的下限和上限，是积分变量。

显然定积分是一个数，只要函数的表达式和区间定了，这个数就定了。换句话说，你把积分变量写成还是亦或是都没关系。

这是肯定的撒，比如说函数是二次函数，无论写成还是写成，这不都是相同的抛物线么？它与坐标轴所围成的图形还能有差别？如果现在咱要求这条抛物线在的范围内与坐标轴所围成的图形面积，结果肯定是一样的嘛。所以有：

为啥要啰嗦上面这么一段文字呢？还不是担心你对接下来的表述弄混淆了嘛。既然定积分是一个确定的数，如果让积分上限（用下限也行）在区间内任意取值，咱就可以一一对应的写出任意个定积分（请记住，它是一个数）。

看到这里，你是不是就想起了函数？变动的积分上限有与之一一对应的数！把这个函数起名为积分上限函数，记作。按照刚才描述的函数构造方法，则有：

其中。

你看，我可是特意把积分变量换成了，就是为了让你看清楚积分上限函数的变量是积分上限而不是积分变量本身！拗口不？那就慢慢地多读几遍哈！

花这么多铺垫给你甩出积分上限函数可不是为了让你练习拗口令，而是这个函数有个及其重要的性质——积分上限函数的导数等于被积函数，即：

等式成立的条件以及证明过程就请各位辛苦一下翻阅数学教材了，很简单、很容易看懂！

这个性质一下子就把求导和定积分给联系起来了。求导或者求微分是对函数的一种运算，那么这种运算就有与之对应的逆运算，就好比加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。如果函数满足：

则函数被称为是函数的原函数。显然，求原函数就是求导运算的逆运算。刚好上面提到的积分上限函数就是被积函数的原函数，这下该知道的重要地位了吧？

对了，你还记得常数的导数为零的结论吗？要是咱给积分上限函数加上一个任意常数，你会发现啥？新的函数的导数也等于，即：

所以新函数也是的原函数，这说明的原函数可以有无限多个。严格的数学证明会告诉你，如果是的一个原函数，那么其他无限多个原函数只能是的形式。也就是对于同一个被积函数来说，不同原函数之间只相差一个任意常数。

鉴于求原函数是求导的逆运算，而且原函数就长成的样子，这么重要的式子不得给它上个户口？于是将其命名为不定积分，记作：

也就是说不定积分是一种运算，是微分运算的逆运算。请不要把它和定积分搞混了哈，人家定积分是一个数。

什么？你要问定积分怎么算？积分上限函数笑而不语地向你招了招手。假设是被积函数的原函数，显然积分上限函数也是的同伙。刚才已经说过了，不同原函数之间只相差一个任意常数，所以有：

发现没，只要令积分上限里的等于，咱们要的定积分不就现原形了吗？

不过还有一个小问题就是任意常数的取值。定积分是一个确定的数，岂容你任意取值？若真如此，岂不是变成了薛定谔的定（小）积（猫）分（咪）？所以咱得把的值给求出来。很简单，你先令积分上限的等于，这不有：

么？于是就有：

再令积分上限里的等于，于是：

即定积分的值等于被积函数的原函数在积分上、下限处取值的差。为了方便，咱们会给出一个新的记法：

完美收工！这便是大名鼎鼎的牛顿——莱布尼茨公式！是它把定积分的计算与求原函数进行了联姻，于是微分与积分的基情就开始了。

三、和约束说不（1）

第一部分里提到，牛顿力学方程有些力不从心的原因在于研究对象会受到约束，所以如何在求解问题的过程中“消除”约束就是一个刚需。这里将“消除”加上引号，并不是说真的把作用在研究对象上的约束给解除掉，而是指在方程里不出现这些未知的、复杂的约束，从而使得方程变得更易求解。在那个小球沿圆轨道运动的例子里，咱们发现只要换一个坐标系就能使得求解变得柳暗花明又一村。

这是偶然还是必然？这背后有没有隐藏着什么不可告人的秘密？谜底揭晓，这个秘密就是坐（zou）标（jin）变（ke）换（xue）！即不再用直角坐标和来描述物体的位置变化特点，而是用另外一种坐标。这就好比买东西，以前总是用现金，现在有了手机支付，便捷程度一下就提升了。

不过要提醒一点的是，坐标变换没有绝对的好坏，只有在具体问题中存在相对最适用的区别。这就好比现金和手机支付一样都有存在的价值，手机没电没网的时候，现金支付是不是很香呢？

那如何进行坐标变换呢？这里有个依据——一个被称为自由度的东西。对于一个自由质点来说，当其在空间运动时，由矢量分解的特点可知，需要3个直角坐标、和才能确定它的位置。如果是个自由质点组成的自由质点系来说，则需要个这样的坐标来描述，也就是：

、、...、

由于每个质点都是自由的，所以这些坐标都是彼此独立的，少一个都不能把这个质点系的运动状态给描述清楚。这些独立坐标的个数就是这个研究对象的自由度。

但是对于受约束的研究对象来说，自由度肯定是要小一些的，因为约束的存在使得原先的部分坐标之间会有联系。还是看第一部分给出的小球沿圆轨道运动的例子，小球在竖直平面内运动，所以需要和两个独立坐标来描述它的运动。但是小球还被限制在圆轨道上运动，所以两个坐标之间始终满足：

的约束条件。

这个约束条件的存在，使得或总能被另一个坐标给表示出来，所以描述这个小球的独立坐标只需要1个就可以了，也就是它的自由度为1。这就是为啥咱们只用小球到圆轨道圆心的连线与竖直方向的夹角来描述它的运动的原因啦。

推广开来，对于由质点组成的质点系，其受到了个类似于小球这样的约束（称为完整约束，具体定义就不展开，个人觉得有点影响文章的连贯性，读者可以自行翻阅任何一本理论力学的教材），那么这个系统的自由度记为，其值为：

也就是说描述这个受约束的系统，只需个独立坐标就可以了。至于这个坐标从哪来，可以是以前的个坐标里选择个，也可以另起炉灶重新选择个其他的坐标。反正坐标系又不是只有直角坐标系这么一家。

至于新的坐标系是什么样子的，甩给你一句话——具体问题具体分析！好家伙，反手就是一个好家伙。比如说可以选极坐标呀，柱坐标，球坐标等等。为了给这些新坐标起个统一的名字，就叫它们为广义坐标吧。

不过别高兴得太早，换坐标并没有真正做到“消除”约束。啥情况？虽然使用广义坐标后，自由度从降为了，这会导致总的方程数量减少。但是若考虑到牛顿方程的矢量特性，依然要写出较多的分量式；而且未知的约束力也会出现在其中的方程里，即使咱们不想搭理约束力，也不得不硬着头皮联立求解方程组。所以咱们还需更彻底地“消除”约束。

回想第一部分里提到的约束，意思就是物体的运动状态有所被限制。比如车轮在地面上无滑动的滚动；刚体具有不变的形状；被光滑铰链链接的刚体等。这些例子里，静摩擦力就是使得车轮不滑动的约束力；刚体的内力约束其形状不变；铰链约束着被链接的刚体的运动状态。

对于纯滚动的物体来说，静摩擦力对其不做功；对于刚体来说，由于其形状不变，其内部各质点没有相对位移，所以内力做功的代数和为零；结合铰链约束的特点，铰链上的约束力所做功的代数和也为零。这些例子透露出，咱们可以通过从做功的角度来消除约束力的影响。

可是做功就会涉及到位移，那物体应该发生怎样的位移才能使得约束力做的功为零呢？这样的位移是特殊值还是普遍值呢？或者说物体真能发生这样的位移吗？

问题发展到这里时，咱们又遇到了拦路虎。再正常不过了，解决问题就是打怪升级的过程，这里再次需要有力的数学武器，但这个武器并不是为解决约束问题而生的，其来头可不小呢。